《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题23函数与矩形存在性问题（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 23 函数与矩形存在性问题

1.矩形的判定:

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三个角为直角的四边形是矩形．

2.题型分析

矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，

坐标系中的矩形满足以下 3 个等式：

因此在矩形存在性问题最多可以有 3 个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．

确定了有 3 个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有 2 个动点，多则可以有 3 个．下：

同时，也可以先根据 A、B的坐标求出直线 AB 的解析式，进而得到直线 AD 或BC 的解析式，从而确定 C

或D的坐标.

【例 1】（2022 春•宾阳县期中）在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝

26cm．点 P从点 A出发，以 1cm/s的速度向点 D运动，点 Q从点 C出发，以 3cm/s的速度向点 B同时运

动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设 P，Q运动的时间为 ts．

（1）若点 P和点 Q同时运动了 6秒，PQ 与CD 有什么数量关系？并说明理由；

（2）在整个运动过程中是否存在 t值，使得四边形 PQBA 是矩形？若存在，请求出 t值；若不存在，请

说明理由；

（3）在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形 PQBA 的面积是四边形 ABCD 面积的一半，

若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由．

解题策略

经典例题

【例 2】（2022 秋•靖江市校级月考）如图，直线 y＝x与双曲线 y＝（k≠0）交于 A，B两点，点 A的坐

标为（m，﹣4），点 C是双曲线第一象限分支上的一点，连接 BC 并延长交 x轴于点 D，且 BC＝3CD．

（1）求 k的值并直接写出点 B的坐标；

（2）点 G是y轴上的动点，连接 GB，GC，求 GB+GC 的最小值；

（3）点 P是坐标轴上的一点，点 Q是平面内一点，是否存在点 P、Q使得四边形 ABPQ 是矩形？若存

在，请求出符合条件的所有 P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例 3】（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点 A（4，0）的直线 AB 与y轴交于点

B（0，4）．经过原点 O的抛物线 y＝﹣x2+bx+c交直线 AB 于点 A，C，抛物线的顶点为 D．

（1）求抛物线 y＝﹣x2+bx+c的表达式；

（2）M是线段 AB 上一点，N是抛物线上一点，当 MN∥y轴且 MN＝2时，求点 M的坐标；

（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点 A，C，P，Q为顶点的四边形

是矩形？若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．

28．（2022 秋•绵阳校级月考）如图，抛物线 y＝x24﹣x+3 与坐标轴交于 A、B、C三点，过点 B的直线与

抛物线交于另一点 E，若经过 A、B、E三点的⊙M满足∠EAM＝45°．

（1）求直线 BE 的解析式；

（2）若 D点是直线 BE 下方的抛物线上一动点，连接 BD 和ED，求△BED 面积的最大值；

（3）点 P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点 Q，使得以点 A，C，P，Q为顶点的四边形为矩

形，若存在，请直接写出 Q点坐标．

一．解答题

1．（2022 秋•铁东区校级月考）如图，已知二次函数 y＝ax2（a≠0）与一次函数 y＝kx 2﹣的图象相交于

A（﹣1，﹣1），B两点．

（1）求 a，k的值及点 B的坐标；

（2）在抛物线上求点 P，使△PAB 的面积是△AOB 面积的一半；（写出详细解题过程）

（3）点 M在抛物线上，点 N在坐标平面内，是否存在以 A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在

直接写出 M的坐标，若不存在说明理由．

培优训练

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