《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题23函数与矩形存在性问题（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 23 函数与矩形存在性问题

1.矩形的判定:

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三个角为直角的四边形是矩形．

2.题型分析

矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，

坐标系中的矩形满足以下 3 个等式：

因此在矩形存在性问题最多可以有 3 个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．

确定了有 3 个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有 2 个动点，多则可以有 3 个．下：

同时，也可以先根据 A、B的坐标求出直线 AB 的解析式，进而得到直线 AD 或BC 的解析式，从而确定 C

或D的坐标.

【例 1】（2022 春•宾阳县期中）在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝

26cm．点 P从点 A出发，以 1cm/s的速度向点 D运动，点 Q从点 C出发，以 3cm/s的速度向点 B同时运

动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设 P，Q运动的时间为 ts．

（1）若点 P和点 Q同时运动了 6秒，PQ 与CD 有什么数量关系？并说明理由；

（2）在整个运动过程中是否存在 t值，使得四边形 PQBA 是矩形？若存在，请求出 t值；若不存在，请

说明理由；

（3）在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形 PQBA 的面积是四边形 ABCD 面积的一半，

若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由．

解题策略

经典例题

【分析】（1）根据 t＝6可得 PD＝CQ，从而得出四边形 PDCQ 为平行四边形，即可得出 PQ＝CD；

（2）当 AP＝BQ 时，四边形 ABQP 是矩形，得 t＝26 3﹣t，即可解决问题；

（3）根据梯形的面积公式分别表示出四边形 ABCD 和PQBA 的面积，列出方程，进而解决问题．

【解答】解：（1）PQ＝CD，理由如下：

由题意得：AP＝tcm，CQ＝3tcm，

∵AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，

∴AP＝（24﹣t）cm，

当t＝6时，DP＝18cm，CQ＝18cm，

∴DP＝CQ，

∵DP∥CQ，

∴四边形 PDCQ 是平行四边形，

∴PQ＝CD；

（2）在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，

∴当 AP＝BQ 时，四边形 ABQP 是矩形，

∴t＝26 3﹣t，

解得 t＝6.5，

∴当 t＝6.5 时，四边形 ABQP 是矩形；

（3）存在，由题意知，四边形 ABCD 的面积＝＝，

四边形 PQBA 的面积＝＝4（t+26 3﹣t）＝104 8﹣t，

∵四边形 PQBA 的面积是四边形 ABCD 面积的一半，

∴104 8﹣t＝100，

∴t＝．

【例 2】（2022 秋•靖江市校级月考）如图，直线 y＝x与双曲线 y＝（k≠0）交于 A，B两点，点 A的坐

标为（m，﹣4），点 C是双曲线第一象限分支上的一点，连接 BC 并延长交 x轴于点 D，且 BC＝3CD．

（1）求 k的值并直接写出点 B的坐标；

（2）点 G是y轴上的动点，连接 GB，GC，求 GB+GC 的最小值；

（3）点 P是坐标轴上的一点，点 Q是平面内一点，是否存在点 P、Q使得四边形 ABPQ 是矩形？若存

在，请求出符合条件的所有 P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点 A的坐标为（m，﹣4）代入直线 y＝x中，可求得 A（﹣3，﹣4），即可求得 k＝

12，根据轴对称的性质即可求出点 B的坐标；

（2）如图 1，作 BE⊥x轴于点 E，CF⊥x轴于点 F，则 BE∥CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性质

即可求得 C（12，1），作点 B关于 y轴的对称点 B′，连接 B′C交y轴于点 G，则 B′C即为 BG+GC 的最

小值，运用勾股定理即可求得答案；

（3）分两种情况：①当点 P在x轴上时，如图 2，设点 P1的坐标为（a，0），过点 B作BE⊥x轴于点

E，通过△OBE∽△OP1B，建立方程求解即可；

②当点 P在y轴上时，过点 B作BN⊥y轴于点 N，如图 2，设点 P2的坐标为（ 0，b），利用

△BON∽△P2OB，建立方程求解即可．

【解答】解：（1）∵A（m，﹣4）在直线 y＝x上，

∴m＝﹣4，

解得 m＝﹣3，

∴A（﹣3，﹣4），

∵A（﹣3，﹣4）在 y＝上，

∴k＝12，

∴y＝，

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