《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题21函数与直角三角形的存在性问题（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 21 函数与直角三角形的存在性问题

【例 1】（2022 春•绿园区期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点 P从点 A出发，

沿AC 以

每秒 2个单位长度的速度向终点 C运动，过点 P作PQ⊥AB 于点 Q，将线段 PQ 绕点 P逆时针旋转 90°

得到线段 PR，连结 QR．设四边形 APRQ 与Rt△ABC 的重叠部分的面积为 S，点 P的运动时间为 t（t＞

0）秒．

（1）线段 AP 的长为　 2 t 　（用含 t的代数式表示）．

（2）当点 R恰好落在线段 BC 上时，求 t的值．

（3）求 S与t之间的函数关系式．

（4）当△CPR 为直角三角形时，直接写出 t的值．

解题策略

经典例题

【分析】（1）由题意可得出答案；

（2）由旋转的性质及等腰直角三角形的性质可得出 2t＝6﹣t，则可求出答案；

（3）分两种情况：①当点 R在△ACB 内或 BC 边上时，0＜t≤2，②当2＜t≤3 时，由平行四边形的面积

公式及三角形面积可得出答案；

（4）可分两种情况：①当∠PCR＝90°时，由（2）可知，t＝2，②当∠CRP＝90°，由题意得出 AP＝

PC，则可求出 t的值．

【解答】解：（1）由题意可知，AP＝2t，

故答案为：2t；

（2）如图，

∵将线段 PQ 绕点 P逆时针旋转 90°得到线段 PR，

∴PQ＝PR，∠QPR＝90°，

∵AP＝2t，

∴AQ＝PQ＝t，

∴QR＝t＝2t，

∵AC＝BC＝6，∠C＝90°，

∴AB＝6，

∴BQ＝6﹣t，

∵当点 R恰好落在线段 BC 上时，∠RCP＝90°，

∴∠CPR＝∠CRP＝∠PRQ＝45°，

∴∠QRB＝90°，

∴BQ＝RQ，

∴2t＝6﹣t，

∴t＝2；

（3）分两种情况：①当点 R在△ACB 内或 BC 边上时，0＜t≤2，

∵AP＝QR，AQ＝PR，

∴四边形 APRQ 为平行四边形，

∴S＝AQ•PQ＝＝2t2；

②当2＜t≤3 时，由题意知，△CPE 和△EFR 为等腰直角三角形，

∴CP＝CE＝6 2﹣t，

∴PE＝6 2﹣t，

∴ER＝＝3t6﹣，

∴ ＝，

∴S＝S四边形 APRQ﹣S△EFR＝＝﹣ ，

∴S＝；

（4）当△CPR 为直角三角形时，可分两种情况：

①当∠PCR＝90°时，由（2）可知，t＝2，

②当∠CRP＝90°，由题意可知 AQ＝PQ＝PR＝CR，

∴AP＝PC，

∴2t＝6 2﹣t，

∴t＝．

综上所述，当 t＝2或时，△CPR 为直角三角形．

【例 2】（2022 春•成华区校级期中）如图，在平面直角坐标系内，点 O为坐标原点，经过 A（﹣2，6）的

直线交 x轴正半轴于点 B，交 y轴于点 C，OB＝OC，直线 AD 交x轴负半轴于点 D，若△ABD 的面积为

27．

（1）求直线 AB 的表达式和点 D的坐标；

（2）横坐标为 m的点 P在线段 AB 上（不与点 A、B重合），过点 P作x轴的平行线交 AD 于点 E，设

PE 的长为 y（y≠0），求 y与m之间的函数关系式并直接写出相应的 m取值范围；

（3）在（2）的条件下，在 x轴上是否存在点 F，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在求出点 F的坐标；

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