《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题20函数与等腰三角形的存在性问题（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 20 函数与等腰三角形的存在性问题

【例 1】（2022 秋•青岛期中）如图，在矩形 ABCD 中，BD 是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点 E从点 D

出发，沿 DA 方向匀速运动，速度是 2cm/s；点 F从点 B出发，沿 BD 方向匀速运动，速度是 1cm/s．两

点同时出发，设运动时间为 t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题

（1）当 t为何值时，EF∥AB？

解题策略

经典例题

（2）设四边形 ABFE 的面积为 S（cm2），求 S与t之间的函数关系式；

（3）当 t为何值时，四边形 ABFE 的面积 S等于矩形 ABCD 面积的？

（4）当 t为　　时，△EFD 是等腰三角形．

【例 2】（2022•佳木斯模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E为AB 的中点，以 A为原点，AB，AD 所在直线

为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形 ABCD 的边长是方程 x28﹣x+16＝0的根．点 P从点 B出发，

沿BC→CD 向点 D运动，同时点 Q从点 E出发，沿 EB→BC 向点 C运动，点 P的速度是每秒 2个单位

长度，点 Q的速度是每秒 1个单位长度当点 P运动到点 D时，P，Q两点同时停止运动设点 P运动的时

间为 t秒，△APQ 的面积为 S．

（1）求点 C的坐标；

（2）求 S关于 t的函数关系式；

（3）当△AQP 是等腰三角形时，直接写出点 P的坐标．

【例 3】（2022 秋•前郭县期中）如图，对称轴为直线 x＝﹣1的抛物线 y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）与 x轴交

于点 A、B（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C，其中点 B的坐标为（2，0），点 C的坐标为

（0，4）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图①，若点 P为抛物线上第二象限内的一点，且到 y轴的距离是 2．点 M为线段 CO 上的一个

动点，求△APM 周长的最小值；

（3）如图②，将原抛物线绕点 A旋转 180°，得新抛物线 y'，在新抛物线 y'的对称轴上是否存在点 Q，

使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由．

【例 4】（2022 秋•法库县期中）如图 1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 ABCO 是菱形

点A的坐标为（﹣3，4），点（在 x轴正半轴上，直线 AC 交y轴于点 M．连接 BM，AB 边交 y轴于点

H．

（1）求 MH 的长；

（2）如图 2所示，动点 P从点 A出发，沿折线．A→B→C方向以每秒 1个单位的速度向终点 C匀速运

动，设△PMB 的面积为 S（S≠0），点 P的运动时间为 t秒，求 S与t之间的函数关系式；

（3）在（2）的情况下，当点 P在线段 AB 上运动时，是否存在以 BM 为腰的等腰三角形？如存在，直

接写出 t的值；如不存在，说明理由．

一．解答题

1．在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，E为对角线 AC 上的一个动点．

（1）如图①，连接 BE 作EF⊥BE 交线段 DC 于点 F，的值；

（2）如图②，连接 DE，作 EF⊥DE 交射线 BC 于点 F．

①设CF＝y，AE＝x，当点 F在线段 BC 上时，求 y与x之间的函数关系式；

②当△EFC 为等腰三角形时，求 AE 的长．

培优训练

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