《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题19相似基本模型（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 19 相似基本模型
【例 1】（2021·山东·嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
，
AC=20 cm
，
BC=15 cm
，现有动点 P从点 A出发，沿 AC 向点 C方向运动，
动点 Q从点 C出发，沿线段 CB 也向点 B方向运动，如果点 P的速度是 4cm/s，点 Q的速度是 2cm/s，它们
同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为 t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为 10cm?
解题策略
经典例题
（2）若
△CPQ
的面积为
S
，求
关于 t的函数关系式．
（3）当 t为多少时，以点 C，P，Q为顶点的三角形与
△ABC
相似?
【例 2】（2022·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，在等边
△ABC
边长为 6，O是中心；在
Rt △ADE
中，
∠ADE=90 °
，
∠DAE=60°
，
AD=2
．将
△ADE
绕点 A按顺时针方向旋转一周．
(1)当
AD
、
AE
分别在
AC
、
AB
边上，连结
OD
、
OE
，求
△ODE
的面积；
(2)设
DE
所在直线与
△ABC
的边
AB
或
AC
交于点 F，当 O、D、E三点在一条直线上，求
AF
的长；
(3)连结
CE
，取
CE
中点 M，连结
DM
，
DM
的取值范围为_________．
【例 3】（2022·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点 P在三角形的一条边上，且满足
∠1=∠2
，则
称点 P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点 D是
△ABC
的边 AB 的中点，
AC=2❑
√
2
，
AB=4
，试判断点 D是不是
△ABC
的“理想
点”，并说明理由；
(2)如图②，在
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
，
AB=5
，
AC=4
，若点 D是
△ABC
的“理想点”，求 CD 的长．
【例 4】（2022·全国·九年级专题练习）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点 D，E
分别为 AC，BC 的中点．△CDE 绕点 C顺时针旋转，设旋转角为 α（0°≤α≤360°），记直线 AD 与直线 BE
的交点为点 P．
(1)如图 1，当 α＝0°时，AD 与BE 的数量关系为______，AD 与BE 的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图 2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE 绕点 C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中 P点运动轨迹的长度和 P点到直线 BC 距离的最
大值．
一、解答题
1．（2021·辽宁丹东·九年级期中）如图，△ABD 中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点
M从点 A出发沿 AB 方向以 1cm/s的速度向点 B匀速运动；同时，动点 N从点 D出发沿 DA 方向以 2cm/s的
速度向点 A匀速运动，运动的时间为 ts．
（1）求 t为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的
2
9
；
（2）当以点 A，M，N为顶点的三角形与△ABD 相似时，求 t值．
2．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC 中，点 D在边 AB 上，点 E、点 F在边 AC 上，且 DE
∥
BC，
AF
FE =AE
EC
．
（1）求证：DF
∥
BE；
（2）如且 AF＝2，EF＝4，AB＝6
❑
√
3
．求证△ADE∽△AEB．
培优训练
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