《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题19相似基本模型（解析版）
【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 19 相似基本模型
【例 1】（2021·山东·嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
，
AC=20 cm
，
BC=15 cm
，现有动点 P从点 A出发，沿 AC 向点 C方向运动，
动点 Q从点 C出发，沿线段 CB 也向点 B方向运动，如果点 P的速度是 4cm/s，点 Q的速度是 2cm/s，它们
同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为 t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为 10cm?
解题策略
经典例题
（2）若
△CPQ
的面积为
S
，求
S
关于 t的函数关系式．
（3）当 t为多少时，以点 C，P，Q为顶点的三角形与
△ABC
相似?
【答案】（1）3秒或 5秒；（2）
S=
(
20 t − 4t2
)
cm2
；（3）
t=3
或
t=40
11
【分析】（1）根据题意得到 AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式
列方程即可得答案；
（2）若运动的时间为 ts，则 CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出 S=20t-
4t2，再结合各线段长度非负，即可得出 t的取值范围；
（3）分①
Rt △CPQ ∽Rt △CAB
和②
Rt △CPQ ∽Rt △CBA
，利用相似三角形得出比例式，建立方程求
解，即可得出结论．
【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm，
∵AC=20cm，
∴CP=（20-4t）cm，
在Rt△CPQ 中，
C P2+C Q2=P Q2
，
即
(
20 −4t
)
2+
(
2t
)
2=102
；
∴
t=3
秒或
t=5
秒
（2）由题意得
AP=4t
，
CQ=2t
，则
CP=20 −4t
，
因此
Rt △CPQ
的面积为
S=1
2×
(
20 −4t
)
×2t=
(
20 t − 4t2
)
cm2
；
（3）分两种情况：
①当
Rt △CPQ ∽Rt △CAB
时，
CP
CA =CQ
CB
，即
20−4t
20 =2t
15
，解得
t=3
；
②当
Rt △CPQ ∽Rt △CBA
时，
CP
CB=CQ
CA
，即
20−4t
15 =2t
20
，解得
t=40
11
．
因此
t=3
或
t=40
11
时，以点
C
、
P
、
Q
为顶点的三角形与
△ABC
相似．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
【例 2】（2022·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，在等边
△ABC
边长为 6，O是中心；在
Rt △ADE
中，
∠ADE=90 °
，
∠DAE=60°
，
AD=2
．将
△ADE
绕点 A按顺时针方向旋转一周．
(1)当
AD
、
AE
分别在
AC
、
AB
边上，连结
OD
、
OE
，求
△ODE
的面积；
(2)设
DE
所在直线与
△ABC
的边
AB
或
AC
交于点 F，当 O、D、E三点在一条直线上，求
AF
的长；
(3)连结
CE
，取
CE
中点 M，连结
DM
，
DM
的取值范围为_________．
【答案】(1)
2❑
√
3
(2)
12 - 4 ❑
√
6
(3)1≤DM≤5
【分析】（1）由 O是等边三角形的中心，可知 OM=
1
2OB=1
2OA
，进而得到
AE
BE
=AO
OM
，从而 EO∥BM，
所以可得 OD=
1
2
EN，
SΔ ODE =SΔODN =1
2SΔ DEN
即可求解；
（2）易证△AEF∽△OBF，得到
AE
OB
=AF
OF
=EF
BF
，设 AF=x，OF=y，求解即可；
（3）取 AE 的中点 N，连接 MN，DN，由 D、N在⊙A上，可知即 MN-DN ≤DM≤DN+MN，易知 MN 是
△AEC 的中位线，从而求得．
（1）
连接 AO，并延长交 BC 于M，连接 OB
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