《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题18中点四大模型（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 18 中点四大模型
解题策略
经典例题
【例 1】（2022·江苏·南通市通州区育才中学八年级阶段练习）已知，在
△ABC
中，
∠ACB=90 °
，
AC=BC
，
AD⊥CE
，
BE⊥CE
，垂足分别为 D，E．
(1)如图 1，求证：
AD=CE
；
(2)如图 2，点 O为
AB
的中点，连接
，
OE
．请判断
△ODE
的形状？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
△DOE
等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据垂直的定义及直角三角形中两个锐角互余得出
∠EBC=∠DCA
，再由全等三角形的
判定和性质即可证明；
（2）连接
OC
，根据等腰直角三角形的性质及斜边上的中线的性质得出
AO=BO=CO
，
∠CAB=∠CBA=45 °
，
CO ⊥AB
，再由全等三角形的判定得出
△DCO ≌△EBO (SAS)
，
△ADO ≌△CEO
，最后结合图形证明即可．
【详解】（1）证明：∵
BE⊥CE
，
AD⊥CE
，
∴
∠E=∠ADC =90 °
，
∴
∠EBC+∠BCE=90 °
．
∵
∠BCE +∠ACD=90 °
，
∴
∠EBC=∠DCA
．
在
△CEB
和
△ADC
中，
∠E=∠D
，
∠EBC=∠DCA
，
BC=AC
，
∴
△CEB ≌△ADC (AAS)
，
∴
AD=CE
．
（2）
△DOE
等腰直角三角形，理由如下：
连接
OC
，如图所示：
∵
AC=BC
，
∠ACB=90 °
，点 O是
AB
中点，
∴
AO=BO=CO
，
∠CAB=∠CBA=45 °
，
CO ⊥AB
，
∴
∠AOC=∠BOC=∠ADC=∠BEC=90 °
，
∵
∠BOC +∠BEC +∠ECO+∠EBO=360°
，
∴
∠EBO+∠ECO=180 °
，且
∠DCO+∠ECO=180 °
，
∴
∠DCO=∠EBO
，且
DC=BE
，
CO=BO
，
∴
△DCO ≌△EBO (SAS)
，
∴
EO=DO
，
∠EOB=¿
∠DOC
，
同理可证：
△ADO ≌△CEO
，
∴
∠AOD=∠COE
，
∠AOD+∠DOC=90 °
，
∴
∠DOC+∠COE=90 °
，
∴
∠DOE=90 °
，且
DO=OE
，
∴
△DOE
是等腰直角三角形．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的
性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【例 2】（2022·重庆市合川中学九年级阶段练习）在
△ABC
中，
∠ABC =45 °
，D为
BC
上一动点．
(1)如图 1，当
∠ADC=75 °
时，若
AB=3+❑
√
3
，求
AD
的长；
(2)如图 2，当
AC=AD
时，点 P为
AB
的中点，且
AB=❑
√
2CD
，求证：
AC=PC
；
(3)如图 3，在（2）的条件下，将
△BCP
绕点 P旋转
180 °
，得到
△A C′P
，连接
D C′
，直接写出
CC′
C ′ D
的
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