《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题17角平分线的四大模型（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 17 角平分线的四大模型
解题策略
【例 1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习）四边形
ABCD
中，
DA=DC
，连接
BD
．
（1）如图 1，若
BD
平分
∠ABC
，求证：
∠A+∠C=180 °
．
（2）如图 2，若
BD=BC
，
∠BAD=150 °
，求证：
．
（3）如图 3，在（2）的条件下，作
AE⊥BC
于点
E
，连接
DE
，若
DA ⊥DC
，
BC=2
，求
DE
的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
❑
√
2
【分析】（1）过点
D
分别作
DF ⊥BC
于点
F
，
DE ⊥BA
交
BA
的延长线于点
E
，根据角平分线的性质可
得
ED=FD
，结合已知条件 HL 证明
Rt △DAE
≌
Rt △DCF
，继而可得
∠C=∠EAD
，根据平角的定
义以及等量代换即可证明
∠BAD +∠BCD=180 °
；
（2）过点
D
分别作
DF ⊥BC
于点
F
，
DE ⊥BA
交
BA
的延长线于点
E
，过点
B
作
BG ⊥DC
，根据含 30
经典例题
度角的直角三角形的性质可得
ED=1
2AD
，根据三线合一，可得
DG=1
2DC
，进而可得
DE=DG
，根据
角平分线的判定定理可推出
∠ABD=∠DBG=1
2∠DBC
，进而即可证明
∠DBC=2∠ABD
；
（3）先证明四边形
DMEF
是矩形，证明
△MAD
≌
△FCD
，进而证明四边形
DMEF
是正方形，设
∠ABD=α
，根据（2）的结论以及三角形内角和定理，求得
α=15 °
，进而求得
∠DBC=30 °
，根据含
30 度角的直角三角形的性质，即可求得
EF
，进而在
Rt △≝¿
中，勾股定理即可求得
DE
的长．
【详解】（1）如图，过点
D
分别作
DF ⊥BC
于点
F
，
DE ⊥BA
交
BA
的延长线于点
E
，
∵
BD
平分
∠ABC
，
∴ED =FD
∵
DA=DC
，
在
Rt △DAE
与
Rt △DCF
中
{AD=DC
ED =FD
∴
Rt △DAE
≌
Rt △DCF
（HL）
∴∠ C=∠EAD
∴∠ DAB+∠EAD=∠DAB +∠C=180 °
即
∠BAD +∠BCD=180 °
（2）如图，过点
D
作
DE ⊥BA
交
BA
的延长线于点
E
，过点
B
作
BG ⊥DC
，
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