《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题16三角形之飞镖模型（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 16 三角形之飞镖模型

模型 1：角的飞镖模型

如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．

图①

图②

模型 2：边的飞镖模型

如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.

模型分析

如图，延长 BD 交 AC 于点 E。

∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+A C>BE+EC.① ，∵BE+EC=BD+DE+EC，

DE+EC> CD，∴BE+EC>BD+CD. ② ，由①②可得：AB+AC>BD+CD.

解题策略

【例 1】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图 1，若 AB∥CD，点 P在AB，CD 内部，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请说明你

的结论．

（2）在图 1中，将直线 AB 绕点 B逆时针方向旋转一定角度交直线 CD 于点 Q，如图 2，则

∠BPD，∠B，∠D，∠BQD 之间的关系为　∠ B +∠ D +∠ BQD ＝∠ BPD 　；

（3）根据（2）的结论求图 3中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．

【分析】（1）过 P作PE∥AB，根据平行线的性质可求得∠BPD＝∠B+∠D；

（2）过 B作BF∥CD，结合（1）的结论和平行线的性质可得到∠BPD＝∠ABP+∠D+∠BQD；

（3）根据三角形内角与外角的关系可得∠A+∠F＝∠1，∠B+∠G＝∠2，进而可得∠A+∠F+∠B+∠G

＝∠1+ 2∠，再根据多边形内角和可得答案．

【解答】解：（1）∠BPD＝∠B+∠D；

过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠1＝∠ABP，∠2＝∠CDP，

∴∠BPD＝∠B+∠D；

（2）延长 BP 交CD 于E，

∵∠B+∠BQD＝∠BED，∠D+∠BED＝∠BPD，

∴∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD；

故答案为：∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD．

（3）∵∠A+∠F＝∠1，∠B+∠G＝∠2，

∴∠A+∠F+∠B+∠G＝∠1+ 2∠，

∵∠1+ 2+∠ ∠C+∠D+∠E＝540°，

∴∠A+∠F+∠B+∠G+∠C+∠D+∠E＝540°．

经典例题

【例 2】（2019 秋•吉州区期末）探究与发现：如图 1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们

不妨把这样图形叫做“规形图”，

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC 与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图 2，把一块三角尺 XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边 XY、XZ 恰好经过点 B、C，∠A

＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　 50 　 °；

②如图 3，DC 平分∠ADB，EC 平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数；

③如图 4，∠ABD，∠ACD 的10 等分线相交于点 G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求

∠A的度数．

【分析】（1）首先连接 AD 并延长至点 F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．

（2）①由（ 1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝ ∠ BXC ，然后根据∠A＝40° ， ∠ BXC ＝90° ，求出

∠ABX+∠ACX 的值是多少即可．

②由（ 1）可得 ∠ DBE ＝ ∠ DAE+∠ADB+∠AEB ，再根据 ∠ DAE ＝40° ， ∠ DBE ＝130° ，求出

∠ADB+∠AEB 的值是多少；然后根据∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE 的度数是多

少即可．

③根据∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°

﹣x°，解方程，求出 x的值，即可判断出∠A的度数是多少．

【解答】解：（1）如图（1），连接 AD 并延长至点 F，

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