《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题15三角形之“8”字模型（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 15 三角形之“8”字模型
模型 1：角的 8 字模型
如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC． 结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
模型 2 边的“8”字模型
如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．结论 AC+BD>AD+BC．
O
B
C
A
D
模型分析
∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②， 由①+② 得： OA+OD+OB+OC>BC+AD
O
D
C
A
解题策略
即：AC+BD>AD+BC.
【例 1】（2021•西湖区校级三模）如图，D，E为△GCF 中GF 边上两点，过 D作AB∥CF 交CE 的延长线
于点 A，AE＝CE．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若 GB＝4，BC＝6，BD＝2，求 CF 的长．
【例 2】（2021 秋•阜阳月考）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接
BD，CE，BD 与CE 交于点 O，BD 与AC 交于点 F．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若∠BAC＝48°，求∠COD 的度数．
（3）若 G为CE 上一点，GE＝OD，AG＝OC，且 AG∥BD，求证：BD⊥AC．
【例 3】（2020 秋•青岛期末）阅读材料，回答下列问题：
经典例题
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图 1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 　 　；
探索二：如图 2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 　 　；
探索三：如图 3，CP、AG 分别平分∠BCE、∠FAD，AG 反向延长线交 CP 于点 P，则∠P、∠B、∠D
之间的数量关系为 　 　．
【模型应用】
应用一：如图 4，延长 BM、CN，交于点 A，在四边形 MNCB 中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四
边形的内角∠MBC 与外角∠NCD 的角平分线 BP，CP 相交于点 P，则∠A＝　 　（用含有 α和β的
代数式表示），∠P＝　 　．（用含有 α和β的代数式表示）
应用二：如图 5，在四边形 MNCB 中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC 与外角
∠NCD 的角平分线所在的直线相交于点 P，∠P＝　 　．（用含有 α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图 6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B
之间的数量关系为 　 　．（用 x、y表示∠P）
拓展二：如图 7，AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD 的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接
写出结论 　 　．
【例 4】（2021 春•邗江区月考）如图 1，已知线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AC、BD，则我们把形如这
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