《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题15三角形之“8”字模型（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 15 三角形之“8”字模型

模型 1：角的 8 字模型

如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．

模型 2 边的“8”字模型

如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．结论 AC+BD>AD+BC．

模型分析

∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②，由①+② 得： OA+OD+OB+OC>BC+AD

解题策略

即：AC+BD>AD+BC.

【例 1】（2021•西湖区校级三模）如图，D，E为△GCF 中GF 边上两点，过 D作AB∥CF 交CE 的延长线

于点 A，AE＝CE．

（1）求证：△ADE≌△CFE；

（2）若 GB＝4，BC＝6，BD＝2，求 CF 的长．

【分析】（1）先由 AB∥CF 得到∠F＝∠ADE，∠A＝∠ECF，然后结合 AE＝CE 得到△ADE≌△CFE；

（2）由 AB∥CF 得到△GBD∽△GCF，然后由相似三角形的性质得到 CF 的长．

【解答】（1）证明：∵AB∥CF，

∴∠F＝∠ADE，∠A＝∠ECF，

在△ADE 和△CFE 中，

，

∴△ADE≌△CFE（AAS）．

（2）解：∵AB∥CF，

∴△GBD∽△GCF，

∴ ，

∵GB＝4，BC＝6，

∴GC＝GB+BC＝10，

∵BD＝2，

∴ ，

∴CF＝5．

【例 2】（2021 秋•阜阳月考）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接

BD，CE，BD 与CE 交于点 O，BD 与AC 交于点 F．

经典例题

（1）求证：BD＝CE．

（2）若∠BAC＝48°，求∠COD 的度数．

（3）若 G为CE 上一点，GE＝OD，AG＝OC，且 AG∥BD，求证：BD⊥AC．

【分析】（ 1）根据 AB＝AC ，AD＝AE ， ∠BAC ＝∠ EAD，从而得出 ∠ BAD＝ ∠CAE ，即可得出

△BAD≌△CAE，进而可以解决问题；

（2）结合（1）证明∠COF＝∠BAC＝48°，进而可以解决问题；

（3）连接 AO，证明△ADO≌△AEG，可得 AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，然后证明∠COF＝∠OAG，根

据AG∥BD，可得∠AOF＝∠OAG，再根据等腰三角形的性质即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD 与△CAE 中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE；

（2）解：∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠AFB＝∠CFO，

∴∠COF＝∠BAC＝48°，

∴∠COD＝180°﹣∠COF＝180° 48°﹣＝132°，

答：∠COD 的度数为 132°．

（3）证明：如图，连接 AO，

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