《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题14平行线之子弹模型（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 14 平行线之子弹模型

【例 1】（2022 春•长沙期中）问题情境

我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些

解题策略

经典例题

探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．

已知三角板 ABC 中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形 DEFG 中，DE∥GF．

问题初探

（1）如图（1），若将三角板 ABC 的顶点 A放在长方形的边 GF 上，BC 与DE 相交于点 M，AB⊥DE 于

点N，求∠EMC 的度数．

分析：过点 C作CH∥GF．则有 CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得

∠EMC 的度数．

由分析得，请你直接写出：∠CAF 的度数为　　，∠EMC 的度数为　　．

类比再探

（2）若将三角板 ABC 按图（2）所示方式摆放（AB 与DE 不垂直），请你猜想写∠CAF 与∠EMC 的数

量关系，并说明理由．

（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG 与∠BMD 的数量关系？并说明

理由．

【例 2】（2022 春•莆田期末）李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有 60°的直

角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线 EF∥GH，直角三角板 ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB

＝60°，点 C为直线 EF 上一定点．将直角三角板 ABC 绕点 C转动，当点 A在直线 GH 上时，点 B也恰

好在直线 GH 上．

（1）如图 1，求∠ECB 的度数；

（2）如图 2，若点 A在直线 EF 上方，点 B在GH 下方，BC 与GH 交于点 Q，作∠ACE 的角平分线并反

向延长与∠CQH 的角平分线交于点 O．在直角三角板 ABC 绕点 C转动的过程中，∠O的度数是否保持

不变？若不变，求出∠O的度数；否则，请说明理由；

（3）如图 3，直角三角板 ABC 绕点 C转动，若点 A在直线 EF，GH 之间（不含 EF，GH 上），点 B在

GH 下方，AB，BC 分别与 GH 交于点 P，Q．设∠FCB＝n°，是否存在正整数 m和n，使得∠APH＝

m∠FCB，若存在，请求出 m和n的值；若不存在，请说明理由．

【例 3】（2022 春•宜春期末）问题：已知线段 AB∥CD，在 AB、CD 间取一点 P（点 P不在直线 AC 上），

连接 PA、PC，试探索∠APC 与∠A、∠C之间的关系．

（1）端点 A、C同向：

如图 1，点 P在直线 AC 右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝　　度；

如图 2，点 P在直线 AC 左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝　　度；

（2）端点 A、C反向：

如图 3，点 P在直线 AC 右侧时，∠APC 与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；

如图 4，点 P在直线 AC 左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝　　度．

【例 4】（2022 春•佛山月考）问题情境：

（1）如图 1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC 的度数．

（提示：如图 2，过 P作PE∥AB）问题迁移：

（2）如图 3，AD∥BC，点 P在射线 OM 上运动，当点 P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB

＝β，α、β、∠DPC 之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点 P在A、B两点外侧运动时（点 P与点 A、B、O三点不重合），请你直

接写出 α、β、∠DPC 之间的数量关系．（提示：三角形内角和为 180°）

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