《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题14平行线之子弹模型（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 14 平行线之子弹模型

【例 1】（2022 春•长沙期中）问题情境

我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些

解题策略

经典例题

探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．

已知三角板 ABC 中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形 DEFG 中，DE∥GF．

问题初探

（1）如图（1），若将三角板 ABC 的顶点 A放在长方形的边 GF 上，BC 与DE 相交于点 M，AB⊥DE 于

点N，求∠EMC 的度数．

分析：过点 C作CH∥GF．则有 CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得

∠EMC 的度数．

由分析得，请你直接写出：∠CAF 的度数为　 30° 　，∠EMC 的度数为　 60° 　．

类比再探

（2）若将三角板 ABC 按图（2）所示方式摆放（AB 与DE 不垂直），请你猜想写∠CAF 与∠EMC 的数

量关系，并说明理由．

（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG 与∠BMD 的数量关系？并说明

理由．

【分析】（ 1）过点 C作CH∥GF ，则 CH∥DE ，这样就将 ∠ CAF 转化为 ∠ HCA ， ∠ EMC 转化为

∠MCH，从而可以求得∠EMC 的度数；

（2）过 C作CH∥GF ，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出 ∠ EMC+∠CAF ＝

∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；

（3）过 B作BK∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣

∠KBM＝∠ABC＝30°．

【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90° 60°﹣＝30°，

∠EMC＝∠BCH＝90° 30°﹣＝60°；

故答案为：30°，60°；

（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：

证明：如图，

过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，

∵DE∥GF，CH∥GF，

∴CH∥DE，

∴∠EMC＝∠HCM，

∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；

（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：

证明：如图，

过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，

∵BK∥GF，DE∥GF，

∴BK∥DE，

∴∠BMD＝∠KBM，

∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．

【例 2】（2022 春•莆田期末）李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有 60°的直

角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线 EF∥GH，直角三角板 ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB

＝60°，点 C为直线 EF 上一定点．将直角三角板 ABC 绕点 C转动，当点 A在直线 GH 上时，点 B也恰

好在直线 GH 上．

（1）如图 1，求∠ECB 的度数；

（2）如图 2，若点 A在直线 EF 上方，点 B在GH 下方，BC 与GH 交于点 Q，作∠ACE 的角平分线并反

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