《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题12费马点问题（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 12 费马点问题-

费马（Ferrmat，1601 年8月17 日﹣1665 年1月12 日），生于法国南部图卢兹（Toulouse）附近的波

蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王．1643 年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直

线上的三个点 A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功

地解决了这个问题：如图 1，△ABC（三个内角均小于 120°）的三条边的张角都等于 120°，即满足

∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点 P，就是到点 A，B，C的距离之和最小的点，后来人们把这个点 P

称为“费马点”．

下面是“费马点”的证明过程：如图 2，将△APB 绕着点 B逆时针旋转 60°得到△A′P′B，使得 A′P′落在

△ABC 外，则△A′AB 为等边三角形，∴P′B＝PB＝PP′，于是 PA+PB+PC＝P′A′+PP′+PC≥A′C，

∴当 A'，P'，P，C四点在同一直线上时 PA+PB+PC 有最小值为 A'C的长度，

∵P′B＝PB，∠P'BP＝60°，

∴△P'BP 为等边三角形，

则当 A'，P'，P，C四点在同一直线上时，

∠BPC＝180°﹣∠P'PB＝180° 60°﹣＝120°，

∠APB＝∠A'PB＝180°﹣∠BP'P＝180° 60°﹣＝120°，

∠APC＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝360° 120° 120°﹣ ﹣ ＝120°，

∴满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点 P，就是到点 A，B，C的距离之和最小的点；

解题策略

经典例题

【例 1】如图（1），P为△ABC 所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点 P叫做△ABC

的费马点．

（1）如点 P为锐角△ABC 的费马点．且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，求 PB 的长．

（2）如图（2），在锐角△ABC 外侧作等边△ACB′连接 BB′．求证：BB′过△ABC 的费马点 P，且 BB′＝

PA+PB+PC．

（3）已知锐角△ABC，∠ACB＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形 ABD，BCE，ACF，请找出

△ABC 的费马点，并探究 S△ABC 与S△ABD 的和，S△BCE 与S△ACF 的和是否相等．

【例 2】探究问题：

（1）阅读理解：

①如图（A），在已知△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点 P为

△ABC 的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离；

②如图（B），若四边形 ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有 AB•CD+BC•DA＝AC•BD．此为托勒密定

理；

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图（C），已知点 P为等边△ABC 外接圆的上任意一点．求证：PB+PC＝PA；

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于 120°）的费马点和费马

距离的方法：

第一步：如图（D），在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆；

第二步：在上任取一点 P′，连接 P′A、P′B、P′C、P′D．易知 P′A+P′B+P′C＝P′A+（P′B+P′C）＝P′A+

；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC 的费马点 P，并请指出线段　　的长度

即为△ABC 的费马距离．

（3）知识应用：

2010 年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百

姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．

已知三村庄 A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于 120°），现选取一点

P打水井，使从水井 P到三村庄 A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．

【例 3】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 B的坐标为（0，2），点 D在x轴的正半轴上，∠ODB＝

30°，OE 为△BOD 的中线，过 B、E两点的抛物线与 x轴相交于 A、F两点（A在F的

左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）等边△OMN 的顶点 M、N在线段 AE 上，求 AE 及AM 的长；

（3）点 P为△ABO 内的一个动点，设 m＝PA+PB+PO，请直接写出 m的最小值，以及 m取得最小值时，

线段 AP 的长．

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