《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题12费马点问题（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 12 费马点问题

费马（Ferrmat，1601 年8月17 日﹣1665 年1月12 日），生于法国南部图卢兹（Toulouse）附近的波

蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王．1643 年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直

线上的三个点 A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功

地解决了这个问题：如图 1，△ABC（三个内角均小于 120°）的三条边的张角都等于 120°，即满足

∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点 P，就是到点 A，B，C的距离之和最小的点，后来人们把这个点 P

称为“费马点”．

下面是“费马点”的证明过程：如图 2，将△APB 绕着点 B逆时针旋转 60°得到△A′P′B，使得 A′P′落在

△ABC 外，则△A′AB 为等边三角形，∴P′B＝PB＝PP′，

于是 PA+PB+PC＝P′A′+PP′+PC≥A′C，

∴当 A'，P'，P，C四点在同一直线上时 PA+PB+PC 有最小值为 A'C的长度，

∵P′B＝PB，∠P'BP＝60°，

∴△P'BP 为等边三角形，

则当 A'，P'，P，C四点在同一直线上时，

∠BPC＝180°﹣∠P'PB＝180° 60°﹣＝120°，

∠APB＝∠A'PB＝180°﹣∠BP'P＝180° 60°﹣＝120°，

∠APC＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝360° 120° 120°﹣ ﹣ ＝120°，

∴满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点 P，就是到点 A，B，C的距离之和最小的点；

解题策略

经典例题

【例 1】．如图（1），P为△ABC 所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点 P叫做△ABC

的费马点．

（1）如点 P为锐角△ABC 的费马点．且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，求 PB 的长．

（2）如图（2），在锐角△ABC 外侧作等边△ACB′连接 BB′．求证：BB′过△ABC 的费马点 P，且 BB′＝

PA+PB+PC．

（3）已知锐角△ABC，∠ACB＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形 ABD，BCE，ACF，请找出

△ABC 的费马点，并探究 S△ABC 与S△ABD 的和，S△BCE 与S△ACF 的和是否相等．

【分析】（1）由题意可得△ABP∽△BCP，所以 PB2＝PA•PC，即 PB＝2；

（2）在 BB'上取点 P，使∠BPC＝120°，连接 AP，再在 PB'上截取 PE＝PC，连接 CE．由此可以证明

△PCE 为正三角形，再利用正三角形的性质得到 PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°，而△ACB'为

正三角形，由此也可以得到 AC＝B'C，∠ACB'＝60°，现在根据已知的条件可以证明△ACP≌△B'CE，

然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；

（3）作 CP 平分∠ACB，交 BC 的垂直平分线于点 P，P点即费马点；

要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ ABC 中分出一部分使得与△ACF 的面积相等，则过 A

作AM∥FC 交BC 于M，连接 DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．

【解析】（1）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，

∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，

∴∠PAB＝∠PBC，

又∵∠APB＝∠BPC＝120°，

∴△ABP∽△BCP，

∴ ＝

∴PB2＝PA•PC＝12，

∴PB＝2；

（2）证明：在 BB'上取点 P，使∠BPC＝120°．连接 AP，再在 PB'上截取 PE＝PC，连接 CE．

∠BPC＝120°，

∴∠EPC＝60°，

∴△PCE 为正三角形，

∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°．

∵△ACB'为正三角形，

∴AC＝B′C，∠ACB'＝60°，

∴∠PCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB′＝60°，

∴∠PCA＝∠ECB′，

∴△ACP≌△B′CE，

∴∠APC＝∠B′EC＝120°，PA＝EB′，

∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，

∴P为△ABC 的费马点．

∴BB'过△ABC 的费马点 P，且 BB'＝EB'+PB+PE＝PA+PB+PC．

（3）如下图，

作CP 平分∠ACB，交 BC 的垂直平分线于点 P，P点就是费马点；

证明：过 A作AM∥FC 交BC 于M，连接 DM、EM，

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