《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题11四点共圆模型（原卷版）
【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 11 四点共圆模型
模型 1：定点定长共圆模型
若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若
OA
＝
OB
＝
OC
＝
OD
，则
A
，
B
，
C
，
D
四点
在以点
O
为圆心、
OA
为半径的圆上．
O
D
A
B
C
模型 2：对角互补共圆模型
2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形
ABCD
中， 若∠
A
＋∠
C
＝180°（或∠
B
＋∠
D
＝180°）则
A
，
B
，
C
，
D
四点在同一个圆上．
D
B
C
A
D
B
C
A
E
拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形
ABCD
中，∠
CDE
为外角，若∠
B
＝∠
CDE
，则
A
，
B
，
C
，
D
四点在同一个圆上．
模型 3：定弦定角共圆模型
若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的
两个端点共圆
如图，点
A
，
D
在线段
BC
的同侧，若∠
A
＝∠
D
，则
A
，
B
，
C
，
D
四点在同一个圆上．
D
B
C
A
解题策略
经典例题
【例 1】．（2021·全国·九年级课时练习）在边长为 12cm 的正方形 ABCD 中，点 E从点 D出发，沿边 DC
以1cm/s 的速度向点 C运动，同时，点 F从点 C出发，沿边 CB 以1cm/s 的速度向点 B运动，当点 E达到
点C时，两点同时停止运动，连接 AE、DF 交于点 P，设点 E．xF运动时间为 t秒．回答下列问题：
(1)如图 1，当 t为多少时，EF 的长等于
4❑
√
5
cm?
(2)如图 2，在点 E、F运动过程中，
①求证：点 A、B、F、P在同一个圆( O)⊙上；
②是否存在这样的 t值，使得问题①中的⊙O与正方形 ABCD 的一边相切?若存在，求出 t值；若不存在，
请说明理由；
③请直接写出问题①中，圆心 O的运动的路径长为_________．
【例 2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，
△OAB 、△OCD
的顶点 O重合，且
∠A+∠B+∠C+∠D=180 °
，则∠AOB+ COD=______°∠；（直接写出结果）
（2）连接
AD、BC
，若
AO、BO 、CO 、DO
分别是四边形
ABCD
的四个内角的平分线.
①如图②，如果
∠AOB=110 °
，那么
∠COD
的度数为_______；（直接写出结果）
②如图③，若
∠AOD=∠BOC
，
AB
与
CD
平行吗？为什么？
【例 3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图 1，等腰
△ABC
中，
AB=AC ,∠BAC=120 °
，作
AD ⊥BC
于点 D，则 D为
BC
的中点，
∠BAD=1
2∠BAC =60 °
，于是
BC
AB =2BD
AB =❑
√
3
；
迁移应用：如图 2，
△ABC
和
△ADE
都是等腰三角形，
∠BAC =∠DAE=120 °
，D，E，C三点在同一
条直线上，连接
BD
．
①求证：
△ADB ≌△AEC
；
②请直接写出线段
AD , BD , CD
之间的等量关系式；
拓展延伸：如图 3，在菱形
ABCD
中，
∠ABC=120°
，在
∠ABC
内作射线
BM
，作点 C关于
BM
的对称
点E，连接
AE
并延长交
BM
于点 F，连接
CE
，
CF
．
①证明
△CEF
是等边三角形；
②若
AE=5, CE=2
，求
BF
的长．
【例 4】（2022·全国·九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，
其中这个角叫做美角．已知四边形
ABCD
是圆美四边形．
（1）求美角
∠A
的度数；
（2）如图 1，若
⊙O
的半径为 5，求
BD
的长；
（3）如图 2，若
CA
平分
∠BCD
，求证：
BC+CD=AC
．
一、解答题
1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）射线 AB 与直线 CD 交于点 E，∠AED＝60°，点 F在直线 CD 上运动，连接
AF，线段 AF 绕点 A顺时针旋转 60°得到 AG，连接 FG，EG，过点 G作
GH ⊥AB
于点 H．
培优训练
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