《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题11四点共圆模型（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 11 四点共圆模型
模型 1：定点定长共圆模型
若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若
OA
＝
OB
＝
OC
＝
OD
，则
A
，
B
，
C
，
D
四点
在以点
O
为圆心、
OA
为半径的圆上．
O
D
A
B
C
模型 2：对角互补共圆模型
2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形
ABCD
中， 若∠
A
＋∠
C
＝180°（或∠
B
＋∠
D
＝180°）则
A
，
B
，
C
，
D
四点在同一个圆上．
D
B
C
A
D
C
E
拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形
ABCD
中，∠
CDE
为外角，若∠
B
＝∠
CDE
，则
A
，
B
，
C
，
D
四点在同一个圆上．
模型 3：定弦定角共圆模型
若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的
两个端点共圆
如图，点
A
，
D
在线段
BC
的同侧，若∠
A
＝∠
D
，则
A
，
B
，
C
，
D
四点在同一个圆上．
D
B
C
A
解题策略
经典例题
【例 1】（2021·全国·九年级课时练习）在边长为 12cm 的正方形 ABCD 中，点 E从点 D出发，沿边 DC 以
1cm/s 的速度向点 C运动，同时，点 F从点 C出发，沿边 CB 以1cm/s 的速度向点 B运动，当点 E达到点 C
时，两点同时停止运动，连接 AE、DF 交于点 P，设点 E．xF运动时间为 t秒．回答下列问题：
(1)如图 1，当 t为多少时，EF 的长等于
4❑
√
5
cm?
(2)如图 2，在点 E、F运动过程中，
①求证：点 A、B、F、P在同一个圆( O)⊙上；
②是否存在这样的 t值，使得问题①中的⊙O与正方形 ABCD 的一边相切?若存在，求出 t值；若不存在，
请说明理由；
③请直接写出问题①中，圆心 O的运动的路径长为_________．
【答案】（1）t=4 或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3 或12；③ 6cm．
【分析】（1）由题意易得 DE=CF=t，则有 EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；
（2）①由题意易证△ADE DCF≌△ ，则有∠CDF= DAE∠，然后根据平行线的性质可得∠APF=90°，进而
可得∠B+ APF=180°∠，则问题得证；
②由题意可知当⊙O与正方形 ABCD 的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与 AD 相
切时，一是当圆与边 DC 相切时；
③由动点 E、F在特殊位置时得出圆心 O的运动轨迹，进而求解即可．
【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t，
∵
四边形 ABCD 是正方形，
∴
AB=CD=BC=AD=12cm，∠C= B= ADC= DAB=90°∠ ∠ ∠ ，
∴
EC=12-t，
∵
EF 的长等于
4❑
√
5
cm，
∴
在Rt CEF△中，
E F2=E C2+C F2
，即
(
4❑
√
5
)
2=
(
12− t
)
2+t2
解得
t1=4,t2=8
；
（2）①由（1）可得 AB=CD=BC=AD=12cm，∠C= B= ADC= DAB=90°∠ ∠ ∠ ，DE=CF=t，
∴
△ADE DCF≌△ ，
∴
∠CDF= DAE∠，
∵
∠CDF+ PDA=90°∠，
∴
∠DAE+ PDA=90°∠，
∴
∠ADP= APF=90°∠，
∴
∠APF+ B=180°∠，
由四边形 APFB 内角和为 360°可得：∠PAB+ PFB=180°∠，
∴
点A、B、F、P在同一个圆( O)⊙上；
②由题意易得：当⊙O与正方形 ABCD 的一边相切时，只有两种情况；
a、当⊙O与正方形 ABCD 的边 AD 相切时，如图所示：
由题意可得 AB 为⊙O的直径，
∴
t=12；
b、当⊙O与正方形 ABCD 的边 DC 相切于点 G时，连接 OG 并延长交 AB 于点 M，过点 O作OH BC⊥交
BC 于点 H，连接 OF，如图所示：
∴
OG DC⊥，GM AB⊥，HF=HB，
∴
四边形 OMBH、GOHC 是矩形，
∴
OH=BM=GC，OG=HC，
∵
AB=BC=12cm，
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