《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题10胡不归问题（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 9胡不归（PA+kPB）型最短问题
“PA＋k·PB”型的最值问题，当 k＝1 时通常为轴对称之最短路径问题，而当 k＞0 时，若以常规的轴对称
的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．
1. 当点 P 在直线上
如图，直线 BM，BN 交于点 B，P 为 BM 上的动点，点 A 在射线 BM，BN 同侧，已知 sin∠MBN＝k．
过点 A 作 AC⊥BN 于点 C，交 BM 于点 P，此时 PA＋k·PB 取最小值，最小值即为 AC 的长．
P
C
B
A
M
N
N
M
A
B
C
P
D
Q
证明 如图，在 BM 上任取一点 Q，连结 AQ，作 QD⊥BN 于点 D．
由 sin∠MBN＝k，可得 QD＝ k·QB．
所以 QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．
2． 当点 P 在圆上
如图，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，已知 r＝k·OB．
在 OB 上取一点 C，使得 OC＝ k·r，连结 AC 交⊙O 于点 P，此时 PA＋k·PB 取最小值，最小值即为 AC 的长．
A
B
C
P
O
O
P
C
B
A
Q
证明 如图，在⊙O 上任取一点 Q，连结 AQ，BQ，连结 CQ，OQ．
则 OC＝ k·OQ，OQ＝ k·OB．
而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，
所以 QC＝ k·QB．
所以 QA＋ k·QB ＝QA＋QC≥AC，即得证．
解题策略
经典例题
【例 1】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象经过
点A（﹣1，0），B（0，
−❑
√
3
），C（2，0），其对称轴与 x轴交于点 D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点 M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N为顶点的四边形为
菱形，求点 M的坐标；
（3）若 P为y轴上的一个动点，连接 PD，求
1
2
PB＋PD 的最小值．
【例 2】（2022·重庆·八年级期末）已知，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别为 AD 上的两点，连接
BE、CF，并延长交于点 G，连接 DG，H为CF 上一点，连接 BH、DH，
∠GBH +∠GED=90 °
(1)如图 1，若 H为CF 的中点，且
AF=2DF
，
DH =❑
√
10
2
，求线段 AB 的长；
(2)如图 2，若
BH =BC
，过点 B作
BI ⊥CH
于点 I，求证：
BI +❑
√
2
2DG=CG
；
(3)如图 2，在（1）的条件下，P为线段 AD（包含端点 A、D）上一动点，连接 CP，过点 B作
BQ ⊥CP
于
点Q，将
△BCQ
沿BC 翻折得
△BCM
，N为直线 AB 上一动点，连接 MN，当
△BCM
面积最大时，直接
写出
❑
√
2
2AN +MN
的最小值．
【例 3】（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将
三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如
图1，在△ABC 中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE 垂直平分 AB，且交 BC 于点 D，连接 AD．
(1)证明直线 AD 是△ABC 的自相似分割线；
(2)如图 2，点 P为直线 DE 上一点，当点 P运动到什么位置时，PA+PC 的值最小？求此时 PA+PC 的长度．
(3)如图 3，射线 CF 平分∠ACB，点 Q为射线 CF 上一点，当
AQ+❑
√
5−1
4CQ
取最小值时，求∠QAC 的正
弦值．
【例 4】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y＝
❑
√
3
3
x＋
❑
√
3
和直线 l2：y＝
﹣
❑
√
3
x＋b相交于 y轴上的点 B，且分别交 x轴于点 A和点 C．
（1）求△ABC 的面积；
（2）点 E坐标为（5，0），点 F为直线 l1上一个动点，点 P为y轴上一个动点，求当 EF＋CF 最小时，点
F的坐标，并求出此时 PF＋
❑
√
2
2
OP 的最小值．
一、填空题
培优训练
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