《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题10胡不归问题（解析版）
【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 9胡不归（PA+kPB）型最短问题
“PA＋k·PB”型的最值问题，当 k＝1 时通常为轴对称之最短路径问题，而当 k＞0 时，若以常规的轴对称
的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．
1. 当点 P 在直线上
如图，直线 BM，BN 交于点 B，P 为 BM 上的动点，点 A 在射线 BM，BN 同侧，已知 sin∠MBN＝k．
过点 A 作 AC⊥BN 于点 C，交 BM 于点 P，此时 PA＋k·PB 取最小值，最小值即为 AC 的长．
P
C
B
A
M
N
N
M
A
B
C
P
D
Q
证明 如图，在 BM 上任取一点 Q，连结 AQ，作 QD⊥BN 于点 D．
由 sin∠MBN＝k，可得 QD＝ k·QB．
所以 QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．
2． 当点 P 在圆上
如图，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，已知 r＝k·OB．
在 OB 上取一点 C，使得 OC＝ k·r，连结 AC 交⊙O 于点 P，此时 PA＋k·PB 取最小值，最小值即为 AC 的长．
A
B
C
P
O
O
P
C
B
A
Q
证明 如图，在⊙O 上任取一点 Q，连结 AQ，BQ，连结 CQ，OQ．
则 OC＝ k·OQ，OQ＝ k·OB．
而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，
所以 QC＝ k·QB．
所以 QA＋ k·QB ＝QA＋QC≥AC，即得证．
解题策略
经典例题
【例 1】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象经过
点A（﹣1，0），B（0，
−❑
√
3
），C（2，0），其对称轴与 x轴交于点 D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点 M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N为顶点的四边形为
菱形，求点 M的坐标；
（3）若 P为y轴上的一个动点，连接 PD，求
1
2
PB＋PD 的最小值．
【答案】（1）y=
❑
√
3
2
（x
−1
2
）2
−9❑
√
3
8
，（
1
2
，
−9❑
√
3
8
）；（2）（
1
2
，
❑
√
7
2
）或（
1
2
，
−
❑
√
7
2
）或（
1
2
，
−❑
√
3 +
❑
√
15
2
）或（
1
2
，
−❑
√
3−
❑
√
15
2
）或（
1
2
，
−
❑
√
3
6
）；（3）
3❑
√
3
4
【详解】思路引领：（1）将 A、B、C三点的坐标代入 y＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的
表达式，进而得到其顶点坐标；
（2）当以 A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以 A为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有
两个交点，此时 AM＝AB；②以 B为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时 BM＝AB；③线段 AB
的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时 AM＝BM，分别列出方程，求解即可；
（3）连接 AB，作 DH⊥AB 于H，交 OB 于P，此时
1
2
PB+PD 最小．最小值就是线段 DH，求出 DH 即可．
答案详解：（1）由题意
¿
，解得
¿
，
∴抛物线解析式为 y
¿❑
√
3
2
x2
−
❑
√
3
2
x
−❑
√
3
，
∵y
¿❑
√
3
2
x2
−
❑
√
3
2
x
−❑
√
3=❑
√
3
2
（x
−1
2
）2
−9❑
√
3
8
，
∴顶点坐标（
1
2
，
−9❑
√
3
8
）；
（2）设点 M的坐标为（
1
2
，y）．
∵A（﹣1，0），B（0，
−❑
√
3
），
∴AB2＝1+3＝4．
①以 A为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时 AM＝AB，
则（
1
2+¿
1）2+y2＝4，解得 y＝±
❑
√
7
2
，
即此时点 M的坐标为（
1
2
，
❑
√
7
2
）或（
1
2
，
−
❑
√
7
2
）；
②以 B为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时 BM＝AB，
则（
1
2
）2+（y
+❑
√
3
）2＝4，解得 y
¿−❑
√
3+❑
√
15
2
或y
¿−❑
√
3−
❑
√
15
2
，
即此时点 M的坐标为（
1
2
，
−❑
√
3+❑
√
15
2
）或（
1
2
，
−❑
√
3−
❑
√
15
2
）；
③线段 AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时 AM＝BM，
则（
1
2+¿
1）2+y2＝（
1
2
）2+（y
+❑
√
3
）2，解得 y
¿−
❑
√
3
6
，
即此时点 M的坐标为（
1
2
，
−
❑
√
3
6
）．
综上所述，满足条件的点 M的坐标为（
1
2
，
❑
√
7
2
）或（
1
2
，
−
❑
√
7
2
）或（
1
2
，
−❑
√
3+❑
√
15
2
）或（
1
2
，
−❑
√
3−
❑
√
15
2
）或（
1
2
，
−
❑
√
3
6
）；
（3）如图，连接 AB，作 DH⊥AB 于H，交 OB 于P，此时
1
2
PB+PD 最小．
理由：∵OA＝1，OB
¿❑
√
3
，
∴tan∠ABO
¿OA
OB =❑
√
3
3
，
∴∠ABO＝30°，
相关推荐
-
2025年1月八省联考高考综合改革适应性测试——高三政治试卷Word版（陕西青海宁夏山西）
2025-01-08 77 -
山西省运城市河津中学2021届高三年级阶段性测评化学试题（PDF可编辑）
2025-01-10 39 -
山西省运城市河津中学2021届高三年级阶段性测评化学答案
2025-01-10 56 -
山西省2024届高三下学期第二次学业质量评价试题（T8联考） 数学 含解析
2025-01-19 61 -
2024山西省运城市康杰中学高二下学期开学考试英语试题（含答案）
2025-01-19 63 -
2024年山西省高考考前适应性测试英语参考答案及详解
2025-01-19 98 -
2024年山西省高考考前适应性测试英语 听力材料
2025-01-19 112 -
2024年山西省高考考前适应性测试 英语参考答案
2025-01-19 129 -
2024届山西省太原市高三下学期第二次模拟考试英语试题
2025-01-19 83 -
2024年山西省高考考前适应性测试 英语A卷
2025-01-19 103
作者：cande
分类：初中
价格：3知币
属性：70 页
大小：1.13MB
格式：DOCX
时间：2025-05-17
作者详情
相关内容
-
2024年山西省高考考前适应性测试英语参考答案及详解
分类：分省
时间：2025-01-19
标签：无
格式：DOCX
价格：3 知币
-
2024年山西省高考考前适应性测试英语 听力材料
分类：分省
时间：2025-01-19
标签：听力
格式：DOCX
价格：3 知币
-
2024年山西省高考考前适应性测试 英语参考答案
分类：分省
时间：2025-01-19
标签：无
格式：DOCX
价格：3 知币
-
2024届山西省太原市高三下学期第二次模拟考试英语试题
分类：分省
时间：2025-01-19
标签：无
格式：PDF
价格：3 知币
-
2024年山西省高考考前适应性测试 英语A卷
分类：分省
时间：2025-01-19
标签：无
格式：DOCX
价格：3 知币
