《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题09阿氏圆问题（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 09 阿氏圆问题

模型建立：已知平面上两点 A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点 P会组成一个圆．这个结论最先

由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．

阿氏圆基本解法：构造三角形相似．

模型解读：

如图 1所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，已知 r＝k·OB．连接

PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

1：连接动点至圆心 0（将系数不为 1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接 OP、OB；

2：计算连接线段 OP、OB 长度；

3：计算两线段长度的比值

OB =k

；

4：在 OB 上截取一点 C，使得

OP =OP

构建母子型相似：

5：连接 AC，与圆 0交点为 P，即 AC 线段长为 PA＋K*PB 的最小值．

本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC＝k·r，则可说明

△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB＝PC．

∴本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），

时AC 线段长即所求最小值．

解题策略

经典例题

【例 1】（2021·全国·九年级专题练习）如图 1，在 RT△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆 C的半

径为 2，点 P为圆上一动点，连接 AP，BP，求：

①

AP+1

2BP

，

②

2AP+BP

，

③

3AP+BP

，

④

AP+3BP

的最小值．

【例 2】（2022·广东惠州·一模）如图 1，抛物线

y=a x2+bx − 4

与

轴交于

A、B

两点，与

轴交于点

，

其中点

的坐标为

(

−1,0

)

，抛物线的对称轴是直线

x=3

．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点

是直线

下方的抛物线上一个动点，是否存在点

使四边形

ABPC

的面积为 16，若存在，求出

点

的坐标若不存在，请说明理由；

(3)如图 2，过点

作

BF ⊥BC

交抛物线的对称轴于点

，以点

为圆心，2为半径作

⊙C

，点

为

⊙C

上

的一个动点，求

❑

√

4BQ+FQ

的最小值．

【例 3】（2019 秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

已知平面上两点 A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点 P会组成一个圆．这个结论最先由古希

腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．

阿氏圆基本解法：构造三角形相似．

【问题】如图 1，在平面直角坐标系中，在 x轴，y轴上分别有点 C（m，0），D（0，n），点 P是平面

内一动点，且 OP＝r，设＝k，求 PC+kPD 的最小值．

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图 1，在 OD 上取点 M，使得 OM：OP＝OP：OD＝k；

第二步：证明 kPD＝PM；第三步：连接 CM，此时 CM 即为所求的最小值．

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在 OD 上取点 M，使得 OM：OP＝OP：OD＝k，

又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．

任务：

（1）将以上解答过程补充完整．

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