《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题09阿氏圆问题（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 17 4 1.36MB 56 页 3知币
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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 09 阿氏圆问题
模型建立：已知平面上两点 A、B，则所有符合 ＝k（k＞0且k≠1）的点 P会组成一个圆．这个结论最先
由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
模型解读：
如图 1所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r＝k·OB．连接
PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
1：连接动点至圆心 0（将系数不为 1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接 OP、OB；
2：计算连接线段 OP、OB 长度；
3：计算两线段长度的比值
OP
OB =k
；
4：在 OB 上截取一点 C，使得
OC
OP =OP
OB
构建母子型相似：
5：连接 AC，与圆 0交点为 P，即 AC 线段长为 PA＋K*PB 的最小值．
本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC＝k·r，则可说明
△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB＝PC．
∴本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），
时AC 线段长即所求最小值．
解题策略
经典例题
【例 1】（2021·全国·九年级专题练习）如图 1，在 RT△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆 C的半
径为 2，点 P为圆上一动点，连接 AP，BP，求：
①
AP+1
2BP
，
②
2AP+BP
，
③
1
3AP+BP
，
④
AP+3BP
的最小值．
【答案】①
❑
√
37
；②
；③
2❑
√
37
3
；④
．
【分析】①在 CB 上取点 D，使
CD=1
，连接 CP、DP、AD．根据作图结合题意易证
△DCP ∼ △ PCB
，
即可得出
PD=1
2BP
，从而推出
AP+1
2BP=AP+PD
，说明当 A、P、D三点共线时，
AP+PD
最小，最
小值即为
AD
长．最后在
Rt △ACD
中，利用勾股定理求出 AD 的长即可；
②由
2AP+BP=2(AP+1
2BP)
，即可求出结果；
③在 CA 上取点 E，使
CE=2
3
，连接 CP、EP、BE．根据作图结合题意易证
△ECP ∼ △ PCA
，即可得出
EP=1
3AP
，从而推出
1
3AP+BP=EP+BP
，说明当 B、P、E三点共线时，
EP+BP
最小，最小值即为
BE
长．最后在
Rt △BCE
中，利用勾股定理求出 BE 的长即可；
④由
AP+3BP=3(1
3AP+BP)
，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在 CB 上取点 D，使
CD=1
，连接 CP、DP、AD．
∵
CD=1
，
CP=2
，
CB=4
，
∴
CD
CP =CP
CB =1
2
．
又∵
∠DCP=∠PCB
，
∴
△DCP ∼ △ PCB
，
∴
PD
BP =1
2
，即
PD=1
2BP
，
∴
AP+1
2BP=AP+PD
，
∴当 A、P、D三点共线时，
AP+PD
最小，最小值即为
AD
长．
∵在
Rt △ACD
中，
AD=❑
√
A C2+C D2=❑
√
62+12=❑
√
37
．
∴
AP+1
2BP
的最小值为
❑
√
37
；
②∵
2AP+BP=2(AP+1
2BP)
，
∴
2AP+BP
的最小值为
2×❑
√
37=2❑
√
37
；
③如图，在 CA 上取点 E，使
CE=2
3
，连接 CP、EP、BE．
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