《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题8将军饮马模型（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 8将军饮马模型
模型 1：当两定点 A、B在直线 l异侧时，在直线 l上找一点 P，使 PA＋PB 最小．
l
B
A
l
P
A
B
连接 AB 交直线 l于点 P，点 P即为所求作的点．PA＋PB 的最小值为 AB.
模型 2：当两定点 A、B在直线 l同侧时，在直线 l上找一点 P，使得 PA＋PB 最小．
l
A
B
P
B'
A
B
作点 B关于直线 l的对称点 B'，连接 AB'交直线 l于点 P，点 P即为所求作的点．PA＋PB 的最小值为 AB'
模型 3：当两定点 A、B在直线 l同侧时，在直线 l上找一点 P，使得 最大．
l
A
B
l
P
A
B
连接 AB 并延长交直线 l于点 P，点 P即为所求作的点， 的最大值为 AB
模型 4：当两定点 A、B在直线 l异侧时，在直线 l上找一点 P，使得 最大．
l
A
B
l
B'
A
B
P
作点 B关于直线 I的对称点 B'，连接 AB'并延长交直线 l于点 P，点 P即为所求作的点． 的最大值
为AB'
解题策略
模型 8：当两定点 A、B在直线 l同侧时，在直线 l上找一点 P，使得 最小．
l
A
B
l
P
A
B
连接 AB，作 AB 的垂直平分线交直线 l于点 P，点 P即为所求作的点． 的最小值为 0
模型 6：点P在∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D，OA 边上找点 C，使得△PCD 周长最小．
A
O
B
P
D
C
P''
P'
P
B
O
A
分别作点 P关于 OA、OB 的对称点 P′、P″，连接 P′P″，交 OA、OB 于点 C、D，点 C、D即为所求．
△PCD 周长的最小值为 P′P″
模型 7：点P在∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D，OA 边上找点 C，使得 PD＋CD 最小．
P
B
O
A
D
C
P'
P
B
O
A
作点 P关于 OB 的对称点 P′，过 P′作P′C⊥OA 交OB
，
PD＋CD 的最小值为 P′C
【例 1】．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，
将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．
如图 1，在△ABC 中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE 垂直平分 AB，且交 BC 于点 D，连接 AD．
经典例题
(1)证明直线 AD 是△ABC 的自相似分割线；
(2)如图 2，点 P为直线 DE 上一点，当点 P运动到什么位置时，PA+PC 的值最小？求此时 PA+PC 的长度．
(3)如图 3，射线 CF 平分∠ACB，点 Q为射线 CF 上一点，当
AQ+❑
√
5−1
4CQ
取最小值时，求∠QAC 的正
弦值．
【例 2】．（2021·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2＋bx＋c经过点
A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴 l交x轴于点 D，交直线 AB 于点 F，交抛物线于点 E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线 l上的动点，求△PBC 周长的最小值；
(3)点N为直线 AB 上的一点（点 N不与点 F重合），在抛物线上是否存在一点 M，使以点 E、F、N、M为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 M的坐标，若不存在，说明理由．
【例 3】（2022·浙江衢州·模拟预测）如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AB 为直径，弦 AD 平分∠BAC，过点
D作射线 AC 的垂线，垂足为 M，点 E为线段 AB 上的动点．
(1)求证：MD 是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点 E运动过程中，EC+EM 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，
说明理由；
(3)若点 E恰好运动到∠ACB 的角平分线上，连接 CE 并延长，交⊙O于点 F，交 AD 于点 P，连接 AF，CP
＝3，EF＝4，求 AF 的长．
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