《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题8将军饮马模型（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 17 4 2.05MB 74 页 3知币
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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 8将军饮马模型
模型 1：当两定点 A、B在直线 l异侧时，在直线 l上找一点 P，使 PA＋PB 最小．
l
B
A
l
P
A
B
连接 AB 交直线 l于点 P，点 P即为所求作的点．PA＋PB 的最小值为 AB.
模型 2：当两定点 A、B在直线 l同侧时，在直线 l上找一点 P，使得 PA＋PB 最小．
l
A
B
P
B'
A
B
作点 B关于直线 l的对称点 B'，连接 AB'交直线 l于点 P，点 P即为所求作的点．PA＋PB 的最小值为 AB'
模型 3：当两定点 A、B在直线 l同侧时，在直线 l上找一点 P，使得 最大．
l
A
B
l
P
A
B
连接 AB 并延长交直线 l于点 P，点 P即为所求作的点， 的最大值为 AB
模型 4：当两定点 A、B在直线 l异侧时，在直线 l上找一点 P，使得 最大．
l
A
B
l
B'
A
B
P
作点 B关于直线 I的对称点 B'，连接 AB'并延长交直线 l于点 P，点 P即为所求作的点． 的最大值
为AB'
解题策略
模型 8：当两定点 A、B在直线 l同侧时，在直线 l上找一点 P，使得 最小．
l
A
B
l
P
A
B
连接 AB，作 AB 的垂直平分线交直线 l于点 P，点 P即为所求作的点． 的最小值为 0
模型 6：点P在∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D，OA 边上找点 C，使得△PCD 周长最小．
A
O
B
P
D
C
P''
P'
P
B
O
A
分别作点 P关于 OA、OB 的对称点 P′、P″，连接 P′P″，交 OA、OB 于点 C、D，点 C、D即为所求．
△PCD 周长的最小值为 P′P″
模型 7：点P在∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D，OA 边上找点 C，使得 PD＋CD 最小．
P
B
O
A
D
C
P'
P
B
O
A
作点 P关于 OB 的对称点 P′，过 P′作P′C⊥OA 交OB
，
PD＋CD 的最小值为 P′C
【例 1】（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将
三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如
图1，在△ABC 中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE 垂直平分 AB，且交 BC 于点 D，连接 AD．
经典例题
(1)证明直线 AD 是△ABC 的自相似分割线；
(2)如图 2，点 P为直线 DE 上一点，当点 P运动到什么位置时，PA+PC 的值最小？求此时 PA+PC 的长度．
(3)如图 3，射线 CF 平分∠ACB，点 Q为射线 CF 上一点，当
AQ+❑
√
5−1
4CQ
取最小值时，求∠QAC 的正
弦值．
【答案】(1)直线 AD 是△ABC 的自相似分割线；
(2)当点
P
运动到
D
点时，PA+PC 的值最小，此时
PA+PC=❑
√
5+1
2
；
(3)∠QAC 的正弦值为
❑
√
5+1
4
【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC 即可得证；
（2）根据垂直平分线的性质可得
PA+PC=PB+PC ≥ BC
，当点
P
与
D
重合时，
PA+PC=PB+PC =BC
,
此时
PA+PC
最小，设
BD=x
，则
BC=x+1
根据
△DBA ∽ △ ABC
，列出方程，解方程求解即可求得
BD
，进而即可求得
BC
的长，即
PA+PC
最小值；
（3）过点
A
作
AH ⊥BC
于点
H
，过点
Q
作
QG ⊥BC
于点
G
，连接
AG
，设
CF
与
AD
交于点
M
，根据已知
条件求得
GQ=❑
√
5−1
4CQ
，进而转化为
AQ+❑
√
5−1
4CQ=AQ +GQ
，则当
Q
点落在
AG
上时，点
G
与点
H
重合，此时
AQ+❑
√
5−1
4CQ
的值最小，最小值为
AH
，进而根据
sin ∠QAC =sin ∠HAC=CH
AC
求解即
可．
(1)
∵△ABC 中，AB=AC=1，∠BAC = 108°
∴∠B =∠C =
1
2
（180°-∠BAC）= 36°
∵DE 垂直平分 AB
∴AD = BD
∴∠B =∠BAD = 36°
∴∠C =∠BAD
又∵∠B =∠B
∴△DBA∽△ABC
∴直线 AD 是△ABC 的自相似分割线．
(2)
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