《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题7弦图与垂直模型（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 7弦图与垂直模型
模型 1：垂直模型
如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.，结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.
图③
A
B
C
D
E
图④
E
A
B
C
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂
直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解 .图①和图②就是
我们经常会见到的两种弦图.
图①
图②
三垂直图形变形如图③、图④，这也是由弦图演变而来的.
模型 2：弦图模型
【例 1】．（2021·全国·八年级专题练习）如图 1，正方形 ABCD 中，点 O是对角线 AC 的中点，点 P是线
段AO 上（不与点 A，O重合）的一个动点，过点 P作PE⊥PB 且PE 交边 CD 于点 E．
解题策略
经典例题
（1）求证：PE＝PB；
（2）如图 2，若正方形 ABCD 的边长为 2，过点 E作EF⊥AC 于点 F，在点 P运动的过程中，PF 的长度是
否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；
（3）用等式表示线段 PC，PA，CE 之间的数量关系．
【例 2】（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习）正方形 ABCD 中，点 E、F在BC、CD
上，且 BE＝CF，AE 与BF 交于点 G．
（1）如图 1，求证 AE⊥BF；
（2）如图 2，在 GF 上截取 GM＝GB，∠MAD 的平分线交 CD 于点 H，交 BF 于点 N，连接 CN，求证：
AN+CN＝
❑
√
2
BN；
【例 3】（2021·云南曲靖·八年级期末）如图 1，在正方形
ABCD
中，
E
为
BC
上一点，连接
AE
，过点
B
作
BG ⊥AE
于点
H
，交
CD
于点
G
．
（1）求证：
AE=BG
；
（2）如图 2，连接
AG
、
¿
，点
M
、
N
、
P
、
Q
分别是
AB
、
AG
、
¿
、
EB
的中点，试判断四边形
MNPQ
的
形状，并说明理由；
（3）如图 3，点
F
、
R
分别在正方形
ABCD
的边
AB
、
CD
上，把正方形沿直线
FR
翻折，使得
BC
的对应边
B' C '
恰好经过点
A
，过点
A
作
AO⊥FR
于点
O
，若
AB'=1
，正方形的边长为 3，求线段
OF
的长．
【例 4】（2021·河南商丘·八年级期中）在平面直角坐标系中，点
A
的坐标为
(
4,0
)
，点
B
为
y
轴正半轴上的
一个动点，以
B
为直角顶点，
AB
为直角边在第一象限作等腰 Rt
△ABC
．
(1)如图 1，若
OB=3
，则点
C
的坐标为______；
(2)如图 2，若
OB=4
，点
D
为
OA
延长线上一点，以
D
为直角顶点，
BD
为直角边在第一象限作等腰 Rt
△BDE
，连接
AE
，求证：
AE⊥AB
；
(3)如图 3，以
B
为直角顶点，
OB
为直角边在第三象限作等腰 Rt
△OBF
．连接
CF
，交
y
轴于点
P
，求线段
BP
的长度．
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