《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题7弦图与垂直模型（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 15 4 1.18MB 67 页 3知币
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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 7弦图与垂直模型
模型 1：垂直模型
如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.，结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.
图③
A
B
C
D
E
图④
E
A
B
C
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂
直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解 .图①和图②就是
我们经常会见到的两种弦图.
图①
图②
三垂直图形变形如图③、图④，这也是由弦图演变而来的.
模型 2：弦图模型
【例 1】．（2021·全国·八年级专题练习）如图 1，正方形 ABCD 中，点 O是对角线 AC 的中点，点 P是线
段AO 上（不与点 A，O重合）的一个动点，过点 P作PE⊥PB 且PE 交边 CD 于点 E．
解题策略
经典例题
（1）求证：PE＝PB；
（2）如图 2，若正方形 ABCD 的边长为 2，过点 E作EF⊥AC 于点 F，在点 P运动的过程中，PF 的长度是
否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；
（3）用等式表示线段 PC，PA，CE 之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）在 P点运动的过程中，PF 的长度不发生变化．PF 的长为定值
❑
√
2
；（3）
PC=PA +❑
√
2EC
．理由见解析．
【分析】（1）做辅助线，构建全等三角形，根据 ASA 证明
△BMP ≅△PNE
即可求解．
（2）如图，连接 OB，通过证明
△OBP ≅△FPE
，得到 PF=OB，则 PF 为定值是
❑
√
2
．
（3）根据△AMP 和△PCN 是等腰直角三角形，得
PA=❑
√
2PM
，
PC=❑
√
2NC
，整理可得结论．
【详解】（1）证明：如图①，过点 P作MN∥AD，交 AB 于点 M，交 CD 于点 N．
∵PB⊥PE，
∴∠BPE＝90°，
∴∠MPB+∠EPN＝90°．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝90°．
∵AD∥MN，
∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90，
∵∠MPB+∠MBP＝90°，
∴∠EPN＝∠MBP．
在Rt△PNC 中，∠PCN＝45°，
∴△PNC 是等腰直角三角形，
∴PN＝CN，
∴BM＝CN＝PN，
∴△BMP≌△PNE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）解：在 P点运动的过程中，PF 的长度不发生变化．
理由：如图 2，连接 OB．
∵点 O是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠EFP＝90°，
∴∠OBP+∠BPO＝90°．
∴∠BPE＝90°，
∴∠BPO+∠OPE＝90°，
∴∠OBP＝∠OPE．
由（1）得 PB＝PE，
∴△OBP≌△FPE（AAS），
∴PF＝OB．
∵AB＝2，△ABO 是等腰直角三角形，∴
OB=2
❑
√
2=❑
√
2
．
∴PF 的长为定值
❑
√
2
．
（3）解：
PC=PA +❑
√
2EC
．
理由：如图 1，∵∠BAC＝45°，
∴△AMP 是等腰直角三角形，
∴
PA=❑
√
2PM
．
由（1）知 PM＝NE，
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