《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题6截长补短模型（原卷版）

3.0 cande 2025-05-17 15 4 711.98KB 15 页 3知币
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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 6截长补短模型
模型：截长补短
如图①，若证明线段 AB、CD、EF 之间存在 EF＝AB＋CD，可以考虑
截长补短法.
截长法：如图②，在 EF 上截取 EG＝AB，再证明 GF＝CD 即可.
补短法：如图③，延长 AB 至H点，使 BH＝CD，再证明 AH＝EF 即
可.
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补
短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词
句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
常见模型示例：如图，已知在△ABC 中，∠C＝2 B∠，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD .
【例 1】（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F
分别是边 BC、CD 上的点，且∠EAF＝
1
2
∠BAD，线段 EF、BE、FD 之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边 BC、CD 上的点，且∠EAF
解题策略
经典例题
＝
1
2
∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并
证明．
（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边 BC、CD 延长线上的点，且
∠EAF＝
1
2
∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明．
【例 2】（2022·安徽合肥·一模）已知：如图 1，△ABC 中，∠CAB=120°， AC=AB，点 D是BC 上一点，
其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），将△ABD 沿AD 所在的直线折叠得到△AED，AE 交CB 于F，连接 CE
(1)求∠CDE 与∠AEC 的度数（用含 α的代数式表示）；
(2)如图 2，当 α=45°时，解决以下问题：
①已知 AD=2，求 CE 的值；
②证明：DC-DE=
❑
√
2
AD；
【例 3】（2022·江苏·八年级专题练习）在等边三角形 ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点
M、N，P为△ABC 外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点 M、N分别在直线
AB、AC 上移动时，BM，NC，MN 之间的数量关系．
(1)如图①，当点 M、N在边 AB、AC 上，且 PM＝PN 时，试说明 MN＝BM+CN．
(2)如图②，当点 M、N在边 AB、AC 上，且 PM≠PN 时，MN＝BM+CN 还成立吗？
答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
(3)如图③，当点 M、N分别在边 AB、CA 的延长线上时，请直接写出 BM，NC，MN 之间的数量关系．
【例 4】（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在锐角
△ABC
中，
，点
D
，
E
分别是边
AB
，
AC
上一动点，连接
BE
交直线
CD
于点
F
．
(1)如图 1，若
AB>AC
，且
BD=CE
，
∠BCD=∠CBE
，求
∠CFE
的度数；
(2)如图 2，若
AB=AC
，且
BD=AE
，在平面内将线段
AC
绕点
C
顺时针方向旋转
60 °
得到线段
CM
，连接
MF
，点
N
是
MF
的中点，连接
CN
．在点
D
，
E
运动过程中，猜想线段
BF
，
CF
，
CN
之间存在的数量关
系，并证明你的猜想．
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