《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题6截长补短模型（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 6截长补短模型
模型：截长补短
如图①，若证明线段 AB、CD、EF 之间存在 EF＝AB＋CD，可以考虑
截长补短法.
截长法：如图②，在 EF 上截取 EG＝AB，再证明 GF＝CD 即可.
补短法：如图③，延长 AB 至H点，使 BH＝CD，再证明 AH＝EF 即
可.
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补
短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词
句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
常见模型示例：如图，已知在△ABC 中，∠C＝2 B∠，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD .
【例 1】．（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝
90°，E、F分别是边 BC、CD 上的点，且∠EAF＝
1
2
∠BAD，线段 EF、BE、FD 之间的关系是 ；（不
需要证明）
（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边 BC、CD 上的点，且∠EAF
解题策略
经典例题
＝
1
2
∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并
证明．
（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边 BC、CD 延长线上的点，且
∠EAF＝
1
2
∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明．
【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）结论不成立，EF＝BE﹣FD，
见解析
【分析】（1）延长 CB 至G，使 BG＝DF，连接 AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到
AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出 EF＝EG，结合图形计算，
证明结论；
（2）延长 CB 至M，使 BM＝DF，连接 AM，仿照（1）的证明方法解答；
（3）在 EB 上截取 BH＝DF，连接 AH，仿照（1）的证明方法解答．
【详解】解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如图 1，延长 CB 至G，使 BG＝DF，连接 AG，
在△ABG 和△ADF 中，
{
AB=AD
∠ABG=∠D=90°
BG=DF
)
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝
1
2
∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
在△GAE 和△FAE 中，
{
AG=AF
∠GAE=∠FAE
AE=AE
)
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
（2）（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图 2，延长 CB 至M，使 BM＝DF，连接 AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+ 1∠＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM 和△ADF 中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
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