《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题5倍长中线模型（原卷版）
【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 5倍长中线模型
②
图
①
图
构造全等
倍长类中线
倍长中线
E
E
D
C
B
A
F
F
A
B
C
D
A
B
C
D
D
C
B
A
如图①，AD 是△ABC 的中线，延长 AD 至点 E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．
如图②，D是BC 中点，延长 FD 至点 E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的
线段进行转移．
【例 1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出
（1）如图，
AD
是
△ABC
的中线，则
AB+AC
__________
2AD
；（填“
¿
”“
¿
”或“
¿
”）
问题探究
（2）如图，在矩形
ABCD
中，
CD=3, BC=4
，点
E
为
BC
的中点，点
F
为
CD
上任意一点，当
△AEF
的
周长最小时，求
CF
的长；
解题策略
经典例题
问题解决
（3）如图，在矩形
ABCD
中，
AC=4, BC=2
，点
O
为对角线
AC
的中点，点
P
为
AB
上任意一点，点
Q
为
AC
上任意一点，连接
PO 、PQ 、BQ
，是否存在这样的点
Q
，使折线
OPQB
的长度最小？若存在，请确
定点
Q
的位置，并求出折线
OPQB
的最小长度；若不存在，请说明理由．
【例 2】．（2021·湖北武汉·八年级期中）已知
△ABC
中，
（1）如图 1，点 E为
BC
的中点，连
AE
并延长到点 F，使
FE=EA
，则
BF
与
AC
的数量关系是________．
（2）如图 2，若
AB=AC
，点 E为边
AC
一点，过点 C作
BC
的垂线交
BE
的延长线于点 D，连接
AD
，若
∠DAC=∠ABD
，求证：
AE=EC
．
（3）如图 3，点 D在
△ABC
内部，且满足
AD=BC
，
∠BAD=∠DCB
，点 M在
DC
的延长线上，连
AM
交
BD
的延长线于点 N，若点 N为
AM
的中点，求证：
DM =AB
．
【例 3】（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形 ABCD 中，E为BC 边上任意点，AF 平分∠EAD，交 CD 于
点F．
(1)如图 1，若点 F恰好为 CD 中点，求证：AE=BE+2CE；
(2)在(1)的条件下，求
CE
BC
的值；
(3)如图 2，延长 AF 交BC 的延长线于点 G，延长 AE 交DC 的延长线于点 H，连接 HG，当 CG=DF 时，求
证：HG⊥AG．
【例 4】．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，
OA=OB , OC=OD ,∠AOB=∠COD=90°
，连接
AC , BD
．
（1）如图 1,若
A、O、D
三点在同一条直线上，则
AC
与
BD
的关系是 ；
（2）如图 2，若
A、O、D
三点不在同一条直线上,
AC
与
BD
相交于点
E
，连接
OE
,猜想
AE、BE 、OE
之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图 3，在(2)的条件下作
BC
的中点
F
,连接
OF
，直接写出
AD
与
OF
之间的关系．
一、解答题
1．（2022·全国·八年级）如图 1，在△ABC 中，若 AB＝10，BC＝8，求 AC 边上的中线 BD 的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长 BD 至E，使 DE＝BD，连接 CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线 BD 的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图 2，在△ABC 中，点 D是AC 的中点，分别以 AB，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直
角三角形 ABM 和等腰直角三角形 BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接 MN．
请写出 BD 与MN 的数量关系，并说明理由．
培优训练
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