《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题5倍长中线模型（解析版）
【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 5倍长中线模型
②
图
①
图
构造全等
倍长类中线
倍长中线
E
E
D
C
B
A
F
F
A
B
C
D
A
B
C
D
D
C
B
A
如图①，AD 是△ABC 的中线，延长 AD 至点 E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．
如图②，D是BC 中点，延长 FD 至点 E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的
线段进行转移．
【例 1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出
（1）如图，
AD
是
△ABC
的中线，则
AB+AC
__________
2AD
；（填“
¿
”“
¿
”或“
¿
”）
问题探究
（2）如图，在矩形
ABCD
中，
CD=3, BC=4
，点
E
为
BC
的中点，点
F
为
CD
上任意一点，当
△AEF
的
周长最小时，求
CF
的长；
解题策略
经典例题
问题解决
（3）如图，在矩形
ABCD
中，
AC=4, BC=2
，点
O
为对角线
AC
的中点，点
P
为
AB
上任意一点，点
Q
为
AC
上任意一点，连接
PO 、PQ 、BQ
，是否存在这样的点
Q
，使折线
OPQB
的长度最小？若存在，请确
定点
Q
的位置，并求出折线
OPQB
的最小长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）＞；（2）
CF=1
；（3）当点
Q
与
AC
的中点
O
重合时，折线
OPQB
的长度最小，最小长度
为4．
【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出
AB=EC
，再根据三角形的三
边关系定理即可得；
（2）如图（见解析），先根据矩形的性质得出
AB=3,∠B=∠BCD=90 ° , AB // CD
，从而可得 AE 的
长，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短得出
△AEF
的周长最小时，点 F的位置，然后利用相似
三角形的判定与性质即可得；
（3）如图（见解析），先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线
OPQB
的长度最小时，
B′, Q , P , O′
四点共线，再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出
∠BAC =30°
，
AB=2❑
√
3
，
AO=2
，
然后利用轴对称的性质、角的和差可得
A B′=2❑
√
3, A O′=2
，
∠B′A O′=90 °
，由此利用勾股定理可求出
B′O′
的长，即折线
OPQB
的最小长度；设
B′O′
交
AC
于点
Q′
，根据等边三角形的判定与性质可得
A Q′=2
，
从而可得
A Q′=AO
，由此即可得折线
OPQB
的长度最小时，点 Q的位置．
【详解】（1）如图，延长 AD，使得
DE=AD
，连接 CE
∵
AD
是
△ABC
的中线
∴BD=CD
在
△ABD
和
△ECD
中，
{
AD=ED
∠ADB=∠EDC
BD=CD
)
∴△ABD ≅△ECD(SAS)
∴AB=EC
在
△ACE
中，由三角形的三边关系定理得：
EC +AC>AE
，即
EC +AC>AD +DE
∴AB+AC>2AD
故答案为：
¿
；
（2）如图，作点
E
关于
CD
的对称点
G
，连接 FG，则
CE=CG
∵
四边形 ABCD 是矩形，
CD=3, BC=4
∴AB=CD =3,∠B=∠BCD=90 ° , AB // CD
∴DC
垂直平分
EG
∴EF=FG
∵
点E是BC 的中点
∴BE=CE=1
2BC=2
∴AE=❑
√
A B2+B E2=❑
√
13
，
CG=CE=2
，
BG=BC +CG=6
则
△AEF
的周长为
AE+EF+AF=❑
√
13+EF +AF =❑
√
13+FG +AF
要使
△AEF
的周长最小，只需
FG+AF
由两点之间线段最短可知，当点
A , F , G
共线时，
FG+AF
取得最小值
AG
∵AB // CD
∴
△FCG ∼ △ ABG
∴
FC
AB =CG
BG
，即
FC
3=2
6
解得
CF=1
；
（3）如图，作点
B
关于
AC
的对称点
B′
，作点
O
关于
AB
的对称点
O′
，连接
AB′ ,Q B′, A O′, PO ′ , B ′ O ′
，
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