《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题4一线三等角模型（原卷版）
【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 4一线三等角模型
在直线 AB 上有一点 P，以 A，B，P 为顶点的∠1，∠2，∠3 相等，∠1，∠2 的一条边在直线 AB 上，另一条
边在 AB 同侧，∠3 两边所在的直线分别交∠1，∠2 非公共边所在的直线于点 C，D．
1．当点 P 在线段 AB 上，且∠3 两边在 AB 同侧时．
（1）如图，若∠1 为直角，则有△ACP∽△BPD．
3
2
1
D
B
P
A
C
3
C
D
B
P
A
（2）如图，若∠1 为锐角，则有△ACP∽△BPD．
2．当点 P 在 AB 或 BA 的延长线上，且∠3 两边在 AB 同侧时．
如图，则有△ACP∽△BPD．
3
2
1
C
P
D
B
A
3
2
1
C
D
B
A
P
3．当点 P 在 AB 或 BA 的延长线上，且∠3 两边在 AB 异侧时．
如图，则有△ACP∽△BPD．
【例 1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的
基本图形．如图 1，已知：在
△ABC
中，
∠BAC =90 °
，
AB=AC
，直线 l经过点 A，
BD ⊥
直线 l，
CE ⊥
直线 l，垂足分别为点 D，E．求证：
DE=BD+CE
．
解题策略
经典例题
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图 2，将（1）中的条件改为：在
△ABC
中，
AB=AC
，D，A，E三点都在直线 l上，并且有
∠BDA=∠AEC=∠BAC =α
，其中
α
为任
意锐角或钝角．请问结论
DE=BD+CE
是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图 3，过
△ABC
的边
AB，AC 向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，AH 是BC 边上的高．延长 HA 交EG 于点 I．若
S△AEG =7
，
则
S△AEI =¿
______．
【例 2】．（2022·全国·八年级专题练习）在直线
m
上依次取互不重合的三个点
D , A , E
，在直线
m
上方有
AB=AC
，且满足
∠BDA=∠AEC=∠BAC =α
．
(1)如图 1，当
α=90 °
时，猜想线段
DE , BD ,CE
之间的数量关系是____________；
(2)如图 2，当
0<α<180 °
时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说
明理由；
(3)应用：如图 3，在
△ABC
中，
∠BAC
是钝角，
AB=AC
，
∠BAD <∠CAE ,∠BDA=∠AEC =∠BAC
，直线
m
与
CB
的延长线交于点
F
，若
BC=3FB
，
△ABC
的面积是 12，求
△FBD
与
△ACE
的面积之和．
【例 3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，
△ABC
中
∠B=∠C=30 °
，
∠≝¿30 °
，且点
E
为边
BC
的中点．将
∠≝¿
绕点
E
旋转，在旋转过程中，射线
DE
与线段
AB
相交于点
P
，射线
EF
与射线
CA
相交于
点
Q
，连结
PQ
．
(1)如图 1，当点
Q
在线段
CA
上时，
①求证：
△BPE
∽
△CEQ
；
②线段
BE
，
BP
，
CQ
之间存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)当
△APQ
为等腰三角形时，求
CQ
BP
的值．
一、解答题
1．（2022·全国·八年级课时练习）在
△ABC
中，
∠ACB=90 °
，
AC=BC
，直线
MN
经过点 C，且
AD⊥MN
于D，
BE⊥MN
于E．
(1)当直线
MN
绕点 C旋转到图 1的位置时．
①请说明
△ADC ≌△CEB
的理由；
②请说明
DE=AD+BE
的理由；
(2)当直线
MN
绕点 C旋转到图 2的位置时，
DE
、
AD
、
BE
具有怎样的等量关系?请写出等量关系，并予以
证明．
(3)当直线
MN
绕点 C旋转到图 3的位置时，
DE
、
AD
、
BE
具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个
等量关系：________．
2．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图 1，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m经过点
培优训练
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