《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题4一线三等角模型（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 4一线三等角模型
在直线 AB 上有一点 P，以 A，B，P 为顶点的∠1，∠2，∠3 相等，∠1，∠2 的一条边在直线 AB 上，另一条
边在 AB 同侧，∠3 两边所在的直线分别交∠1，∠2 非公共边所在的直线于点 C，D．
1．当点 P 在线段 AB 上，且∠3 两边在 AB 同侧时．
（1）如图，若∠1 为直角，则有△ACP∽△BPD．
3
2
1
D
B
P
A
C
3
D
B
P
A
（2）如图，若∠1 为锐角，则有△ACP∽△BPD．
2．当点 P 在 AB 或 BA 的延长线上，且∠3 两边在 AB 同侧时．
如图，则有△ACP∽△BPD．
3
2
1
C
P
D
B
A
3
2
1
C
D
B
A
P
3．当点 P 在 AB 或 BA 的延长线上，且∠3 两边在 AB 异侧时．
如图，则有△ACP∽△BPD．
【例 1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的
基本图形．如图 1，已知：在
△ABC
中，
∠BAC =90 °
，
AB=AC
，直线 l经过点 A，
BD ⊥
直线 l，
CE ⊥
直线 l，垂足分别为点 D，E．求证：
DE=BD+CE
．
解题策略
经典例题
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图 2，将（1）中的条件改为：在
△ABC
中，
AB=AC
，D，A，E三点都在直线 l上，并且有
∠BDA=∠AEC=∠BAC =α
，其中
α
为任
意锐角或钝角．请问结论
DE=BD+CE
是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图 3，过
△ABC
的边
AB，AC 向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，AH 是BC 边上的高．延长 HA 交EG 于点 I．若
S△AEG =7
，
则
S△AEI =¿
______．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5
【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得 DA=CE，AE=BD，可得 DE=BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明
△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知 EM=AH=GN，可得 EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论 I是EG 的中
点．
【详解】解：（1）证明：如图 1中，∵BD⊥直线 l，CE⊥直线 l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB 和△CEA 中，
{
∠ABD=∠CAE
∠BDA=∠CEA
AB=AC
)
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（2）解：成立．
理由：如图 2中，
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB 和△CEA 中，
{
∠BDA=∠AEC
∠DBA=∠CAE
AB=AC
)
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）如图 3，过 E作EM⊥HI 于M，GN⊥HI 的延长线于 N．
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知 EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI 和△GNI 中，
{
∠GIN =∠EIM
EM =GN
∠GNI =∠EMI
)
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI，
∴I是EG 的中点．
∴S
△
AEI=
1
2
S
△
AEG=3.5．
故答案为：3.5．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟
练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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