《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题2半角模型（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 02 半角模型
模型 1：正方形中的半角模型
解题策略
模型 2：等腰直角三角形中的半角模型
【例 1】．（2020·山西晋中·八年级阶段练习）如图所示：已知
ΔABC
中，
∠BAC =90°, AB=AC
，在
∠BAC
内部作
∠MAN=45°, AM 、AN
分别交
BC
于点
M，N .
[操作]（1）将
绕点
A
逆时针旋转
90°
，使
AB
边与
AC
边重合，把旋转后点
M
的对应点记作点
Q
，得
到
ACQ
，请在图中画出
ΔACQ
;(不写出画法)
[探究]（2）在
(
1
)
作图的基础上，连接
NQ
， 求证：
MN =NQ ;
[拓展]（3）写出线段
BM , MN
和
NC
之间满足的数量关系，并简要说明理由．
【例 2】（2022·全国·九年级专题练习）折一折：将正方形纸片 ABCD 折叠，使边 AB、AD 都落在对角线
AC 上，展开得折痕 AE、AF，连接 EF，如图 1．
经典例题
(1)∠EAF＝ °，写出图中两个等腰三角形： （不需要添加字母）；
(2)转一转：将图 1中的∠EAF 绕点 A旋转，使它的两边分别交边 BC、CD 于点 P、Q，连接 PQ，如图 2．
线段 BP、PQ、DQ 之间的数量关系为 ；
(3)连接正方形对角线 BD，若图 2中的∠PAQ 的边 AP、AQ 分别交对角线 BD 于点 M、点 N，如图 3，则
CQ
BM =¿
；
(4)剪一剪：将图 3中的正方形纸片沿对角线 BD 剪开，如图 4．求证：BM2＋DN2＝MN2．
【例 3】（2022·江苏·八年级专题练习）问题情境
在等边△ABC 的两边 AB，AC 上分别有两点 M，N，点 D为△ABC 外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝
120°，BD＝DC．
特例探究
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