《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题2半角模型（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题 02 半角模型
模型 1：正方形中的半角模型
解题策略
模型 2：等腰直角三角形中的半角模型
【例 1】（2020·山西晋中·八年级阶段练习）如图所示：已知
ΔABC
中，
∠BAC =90°, AB=AC
，在
∠BAC
内部作
∠MAN=45°, AM 、AN
分别交
BC
于点
M，N .
[操作]（1）将
ΔABM
绕点
逆时针旋转
90°
，使
AB
边与
AC
边重合，把旋转后点
M
的对应点记作点
Q
，得
到
ACQ
，请在图中画出
ΔACQ
;(不写出画法)
[探究]（2）在
(
1
)
作图的基础上，连接
NQ
， 求证：
MN =NQ ;
[拓展]（3）写出线段
BM , MN
和
NC
之间满足的数量关系，并简要说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）MN2=BM2+NC2，理由见详解.
【分析】（1）根据旋转中心、旋转方向和旋转角度进行作图即可；
（2）先根据 SAS 判定△MAN QAN≌△ ，进而得出结论；
（3）再由全等三角形和旋转的性质，得出 MN=NQ，MB=CQ，最后根据 Rt△NCQ 中的勾股定理得出结论；
【详解】解：（1）如图，△ACQ 即为所求；
经典例题
（2）证明：由旋转可得，△ABM ACQ≌△ ，
∴AM=AQ，∠BAM= CAQ∠
∵∠MAN=45°，∠BAC=90°
∴∠BAM+ NAC=45°∠
∴∠CAQ+ NAC=45°∠，即∠NAQ=45°
在△MAN 和△QAN 中
{
AM =AQ
∠MAN =∠QAN
AN=AN
)
，
∴△MAN QAN≌△ （SAS），
∴MN=NQ；
（3）MN2=BM2+NC2；
由（2）中可知，MN=NQ，MB=CQ，
又∠NCQ= NCA+ACQ= NCA+ ABM=45°+45°=90°∠ ∠ ∠
在Rt NCQ△中，有
NQ2=CQ2+NC2，
即MN2=BM2+NC2；
【点睛】本题主要考查了图形的旋转、全等三角形，以及勾股定理，解决问题的关键是掌握旋转变换思想
方法在解决问题过程中的应用．解题时注意：①旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全
等），②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等（都是旋转角），③经过旋转，对应点到旋
转中心的距离相等．
【例 2】．（2022·全国·九年级专题练习）折一折：将正方形纸片 ABCD 折叠，使边 AB、AD 都落在对角线
AC 上，展开得折痕 AE、AF，连接 EF，如图 1．
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