《【上好课】2023学年八年级数学下册同步备课系列（人教版）》16.3.2 二次根式的混合运算（教学设计）

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人教版初中数学八年级下册
16.3.2 二次根式的混合运算 教学设计
一、教学目标：
1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.
2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
二、教学重、难点：
重点：会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力.
难点：正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.
三、教学过程：
复习回顾
忆一忆
1.二次根式的乘法法则
√
a
•
√
b
＝________(a≥0，b≥0)，积的算术平方根
√
ab
＝__________
( a≥0，b≥0).
2.二次根式的除法法则
√
a
√
b
＝____( a≥0，b＞0)，商的算术平方根
√
a
b
＝____(a≥0，b＞0).
3.二次根式的加减时，可以先将二次根式化为_____________，再将被开方数相同的二次根式
进行________.
做一做
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A.
√
12
B.
√
x2+1
C.
D.
√
3
2
2.计算：(1)
√
128
×
√
9
2
=____；(2)
√
24
÷
√
12
=____；(3)
6
√
1
3
+
2
3
√
27
-
3
√
3
=____.
3.填空：(1)(a+b)(a-b)=_______； (2)(a+b)2=_________； (3)(a-b)2=_________.
典例解析
例1.计算：
(1)
(
√
8+
√
3)×
√
6
(2)
(4
√
2−3
√
6)÷2
√
2
解：(1)
(
√
8+
√
3)×
√
6=
√
8×
√
6+
√
3×
√
6=
√
8×6+
√
3×6=4
√
3+3
√
2
(2)
(4
√
2−3
√
6)÷2
√
2=4
√
2÷2
√
2−3
√
6÷2
√
2=2−3
2
√
3
【点睛】二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序 、
乘法法则仍然适用.
【针对练习】计算：
(1)
√
2(
√
3+
√
5)
(2)
(
√
80+
√
40 )÷
√
5
解：(1)原式=
√
6+
√
10
(2)原式=
√
16+
√
8=4+2
√
2
例 2.计算：
解：(1)原式
(2)原式
【点睛】有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为
正数.
例3.计算：
(1)
(
√
2+3)×(
√
2−5)
(2)
(
√
5+
√
3)(
√
5−
√
3)
解：(1)
(
√
2+3)×(
√
2−5)=(
√
2)2+3
√
2−5
√
2−15=2−2
√
2−15=−13−2
√
2
(2)
(
√
5+
√
3)(
√
5−
√
3)=(
√
5)2−(
√
3)2=5−3=2
【点睛】对于整式的运算法则和乘法公式仍然适用于二次根式的加、减、乘、除混合运算.
【针对练习】计算：
(1)
(3❑
√
2−2)(1+❑
√
2)
； (2)
(
2❑
√
3−1
)
2−
(
❑
√
3+2
) (
❑
√
3−2
)
.
解：（1）原式
= 3❑
√
2+6−2−2❑
√
2 =❑
√
2+4
；
（2）原式
¿
(
2❑
√
3
)
2−4❑
√
3+1−
(
3−4
)
=12−4❑
√
3+1+1=14−4❑
√
3
．
知识精讲
在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:
思考： 如果 分 母 不 是 单 个 的二次根式，而是 含二 次根 式 的 式 子 ，如：
等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
典例解析
例 4.已知
m=1
❑
√
5+2
，
n=1
❑
√
5−2
，求
m2−mn+n2
的值．
解：∵
m=1
❑
√
5+2=❑
√
5−2
(
❑
√
5+2
) (
❑
√
5−2
)
=❑
√
5−2
5−4=❑
√
5−2
，
n=1
❑
√
5−2=❑
√
5+2
(
❑
√
5−2
) (
❑
√
5+2
)
=❑
√
5+2
5−4=❑
√
5+2
，
∴
m2−mn+n2
¿
(
m−n
)
2+mn
¿
(
❑
√
5−2−❑
√
5−2
)
2+
(
❑
√
5−2
)(
❑
√
5+2
)
¿16+5−4
¿17
．
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