《【上好课】2023学年八年级数学下册同步备课系列（人教版）》16.1.1 二次根式的概念（教学设计）

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人教版初中数学八年级下册
16.1.1 二次根式的概念 教学设计
一、教学目标：
1.理解二次根式的概念.
2.掌握二次根式有意义的条件.
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
二、教学重、难点：
重点：形如
√
a
(a≥0)的式子叫做二次根式的概念.
难点：利用“
√
a
(a≥0)”双重非负性解决具体问题.
三、教学过程：
复习回顾
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于 a，则这个数就叫做 a 的平方根.
a 的平方根是±
√
a
(a≥0).
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
0的算术平方根是 0.
用
√
a
(a≥0)表示.
3.(1) 16 的平方根是什么？算术平方根是什么？
(2) 0 的平方根是什么？算术平方根是什么？
(3) -7 有没有平方根？有没有算术平方根？
平方根的特征：正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是 0；负数没有平方根.
知识精讲
思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为 3 的正方形的边长为____，面积为 S 的正方形的边长为____.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130m2，则它的宽为_____m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位:s)与开始落下时离地面的高度
h(单位:m)满足关系 h=5t2.如果用含有 h 的式子表示 t，则 t=_____.
一般地，我们把形如
√
a
(a≥0)的式子叫做二次根式，“
√
”称为二次根号.
请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式
√
a
的认识！
1.表示 a 的算术平方根；
2.a 可以是数，也可以是式；
3.形式上含有二次根号
√
；
4.a≥0，
√
a
≥0 (双重非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
典例解析
例 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
分析：
二次根式有：(1)(4)(5)(7)(9)
【针对练习】判断下列式子，哪些是二次根式？
(1)
(2)
❑
√
−3
(3)
−❑
√
x2+1
(4)
3
√
7
(5)
❑
√
(−1
3)
2
二次根式有：(1)(3)(5)
例 2.当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?
解：由 x-2≥0，得
x≥2
当 x≥2 时， 在实数范围内有意义.
【针对练习】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解（1）由题意得 x-1＞0，
∴x＞1.
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且 x≠1.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥ 0，列不等式求解即可.若
二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
【总结提升】
1.单个二次根式如 有意义的条件：A≥0
2.多个二次根式相加如 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如 或 有意义的条件：A＞0
4.二次根式与分式的和如 或 有意义的条件：A≥0 且 B≠0
知识精讲
思考：1.当 x 是怎样的实数时，
√
x2
在实数范围内有意义？
√
x3
呢？
x 为任意实数时，
√
x2
都有意义；当 x≥0 时，
√
x3
有意义.
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