湖北省部分市州2024-2025学年高三上学期元月期末联考数学试题 Word版含解析

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湖北省部分市州 2025 年元月高三期末联考
数学试卷
本试卷共 4页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知命题 ，命题 ，则命题 是命题 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对函数的性质，结合充分，必要条件，即可判断选项.
【详解】因为函数 和 都是增函数，
若命题 成立，则 ，则 ，
所以命题 是命题 的充分条件，
反之，若命题 成立，则 ，但当 是非正数时，不等式没有意义
，
所以命题 不是命题 的必要条件，
所以命题 是命题 充分不必要条件.
故选：A
2. 已知单位向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积公式，即可求解.
【详解】 ，
所以 ，则 .
故选：C
3. 若复数 是纯虚数，则 的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由纯虚数的特征，即可列式求解.
【详解】由题意可知， ， ，
得 ，根据选项可知，只有 满足条件.
故选：C
4. 若随机变量 的分布列如下表，表中数列 为等差数列，则 的取值是（ ）
3 4 5 6 7
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解.
【详解】由分布列的性质可知， ，再根据数列 为等差数列，
则 ，即 ，则 .
故选：D
5. 函数 在 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 导数， ，利用函数 在 处的切线与直线
垂直，列出方程，即可求出实数 的值．
【详解】函数 ，求导得 ，
在 处的切线斜率为 ，
又 在 处的切线与直线 垂直，
所以 ，解得 .
故选：B.
6. 已知抛物线 为坐标原点， 是抛物线上任意一点， 为焦点，且
，则直线 的斜率的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先设点 的坐标，再表示点 的坐标，并表示 ，利用基本不等式求最值.
【详解】设 ， ，由 可知， ，
直线 斜率最大，则点 是第一象限的点，即 ，
所以 ，
当 ，即 时，等号成立，
所以直线 斜率的最大值为 1.
故选：B
7. 正方体 的棱长为 3，平面 内一动点 满足 ，当
三棱锥 的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ）
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