湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期1月期末考试 数学 Word版含解析

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衡阳县四中 2025 届高三第一学期期末考试
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分）
1．设集合
A=
{
x∨log2
(
x − 1
)
<2
}
, B={x∨x<5}
，则（）
A．
A=B
B．
B⊆A
C．
A⊆B
D．
A ∩ B=∅
2．已知复数
z=3+4 i
4−3 i
，则
|
z
|
=¿
（　　）
A．2 B．1 C．
❑
√
5
D．
3．“
b ≤ 1
”是“函数
f(x)=¿
是在
(−2,+∞)
上的单调函数”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知平面向量
⃗
a ,
⃗
b
满足
⃗
a=
(
1,− 1
)
,
|
⃗
b
|
=1,
|
⃗
a+2
⃗
b
|
=❑
√
2
，则向量
⃗
a
与向量
⃗
a+2
⃗
b
的夹角为（）
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
π
2
5．已知
F1, F2
为椭圆
C:x2
a2+y2
b2=1
(
a>b>0
)
的左右焦点，
|
F1F2
|
=4
，点
Q
(
2,❑
√
2
)
在椭圆
C
上，
P
是椭圆
C
上的动点，则
⃗
PQ ⋅
⃗
P F1
的最大值为（）
A．4 B．
9
2
C．5 D．
4+❑
√
2
6．将甲、乙等 6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高
到低）分别排在第 4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分
组方式共有（）种.
A．
4
B．
5
C．
6
D．
8
7．已知正三棱柱
ABC − A1B1C1
的底面边长为
❑
√
3
，高为
2❑
√
3
，则该正三棱柱的外接球的体积
为（）
A．
32 π
3
B．
4❑
√
3 π
C．
❑
√
6 π
D．
8 π
3
8．已知
MN
是圆
O:x2+y2=4
的一条弦，
∠MON=60 °
，
P
是
MN
的中点.当弦
MN
在圆
O
上运动
时，直线
l:y=x − 4
上总存在两点
A , B
，使得
∠APB
为钝角，则
|
AB
|
的取值范围是（）
A．
(
0,4 ❑
√
2−2❑
√
3
)
B．
(
4❑
√
2−2❑
√
3,+∞
)
C．
(
0,4 ❑
√
2+2❑
√
3
)
D．
(
4❑
√
2+2❑
√
3,+∞
)
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9．已知函数
f
(
x
)
=Asin
(
ωx+φ
)
(
A>0, ω>0,
|
φ
|
<π
2
)
部分图象如图所示，则下列说法正确的是
（）
A．
ω=2
B．
f
(
x
)
的图象关于点
(
−2 π
3,0
)
对称
C．将函数
y=2cos
(
2x+π
3
)
的图象向右平移
π
2
个单位得到函数
f
(
x
)
的图象
D．若方程
f
(
x
)
=m
在
[
0,π
2
]
上有且只有一个实数根，则
m
的取值范围是
[
−❑
√
3,❑
√
3
)
10．若数列
{
Fn
}
满足
F1=F2=1
，
Fn+2=Fn+1+Fn
(
n∈N∗
)
，设
an=(−1)FnFn+1
，则（）
A．
a4=1
B．
a2024+a2025=2
C．
an=an+3
D．若数列
{
an
}
的前
n
项和为 30，则
n=90
或
n=92
11．如图，若正方体
ABCD− EFGH
的棱长为 1，点
M
是正方体的侧面
ADHE
上的一个动点
（含边界），
P
是棱
CG
上靠近
G
点的三等分点，则下列结论正确的有（）

A．沿正方体的表面从点
A
到点
P
的最短路程为
❑
√
34
3
B．若
PM ⊥BH
，点
M
的运动轨迹是线段
C．若
|
PM
|
=13
3
，则点
M
在侧面
ADHE
内运动路径长度为
2
9π
D．当点
M
与点
D
重合时，三棱锥
B− MEP
的体积最大
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12．若函数
f
(
x
)
=1
2f'
(
−1
)
x2−2x+1
，则
f'
(
−1
)
=¿
.
13．关于
x
的不等式
m x2− x +1<0
的解集为
¿
，则
1
a −1+4
b − 1
的最小值为.
14．已知椭圆
x2
a2+y2
b2=1
(
a>b>c>0
)
的左､右焦点分别为
F1, F2
，若以
F2
为圆心，
b − c
为半径作
圆
F2
，过椭圆上一点
P
作此圆的切线，切点为
T
，且
|
PT
|
的最小值为
❑
√
3
2
(
a −c
)
，则椭圆的离
心率
e
是.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13 分）在
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
sin C −❑
√
3sin B
sin A+sin B=a −b
c
.
(1)求角
A
的大小；
(2)若
2 sin Asin B=1+cos C
，
△ABC
外接圆半径为 2，
∠BAC
的角平分线与
BC
交于点
D
.求
AD
的长.
16．（15 分）已知数列
{
an
}
满足
2an+1−2an=a1
，且
a2=3
，其前
n
项和记为
Sn
．
(1)求
{
an
}
的通项公式；
(2)记数列
{
1
Sn
}
的前
n
项和为
Tn
，求证：
Tn<11
9
．
17．（15 分）如图，在四棱锥
P − ABCD
中，平面
PAD ⊥
平面 ABCD，
△PAD
是斜边为 AD 的
等腰直角三角形，
AB⊥AD , AB=1, AD=4, AC=CD=2❑
√
2.

(1)求证：
PD ⊥
平面
PAB ；
(2)求PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；
(3)在棱 PB 上是否存在点 M，使得平面 ADM 与平面 ABCD 所成角的余弦值为
❑
√
5
5?
若存在，
求出
PM
PB
的值，若不存在，请说明理由.
18．（17 分）已知
f
(
x
)
=ex⋅sin x − x
.
(1)若
g
(
x
)
=2−2x − f
(
x
)
ex
(
0<x<π
2
)
，证明：
g
(
x
)
存在唯一零点；
(2)当
x∈
(
− ∞ , π
)
时，讨论
f
(
x
)
零点个数.
19．（17 分）已知椭圆
C
的焦点为
F1(−❑
√
3,0)
，
F2(❑
√
3,0)
，左、右顶点分别为
A , B
，点
P
为
椭圆
C
上异于
A , B
的动点，
△P F1F2
的周长为
4+2❑
√
3
.
(1)求椭圆
C
的标准方程；
(2)设直线
PB
交直线
x=4
于点
T
，连接
AT
交椭圆
C
于点
Q
，直线
AP
，
AQ
的斜率分别为
kAP
，
kAQ
.
（i）求证：
kAP ⋅kAQ
为定值；
（ii）设直线
PQ:x=ty +n
，证明：直线
PQ
过定点.
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