湖南省衡阳市2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试卷Word版含答案
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2024 年下学期高三期末质量检测
数学
本试卷共 4页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则
A. B. C. D.1
3.已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的关系是
A.垂直 B.共线 C.夹角为 D.夹角为
4.已知函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围是
A. B.（0，4）C. D.
5.设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 作 轴的垂线交 于 ，
两点，其中点 在第一象限，且 .若 是 上的动点，则满足 是直角三角形的点
的个数为
A.0 B.2 C.4 D.6
6.正三棱台 的上、下底边长分别为 6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和
三个侧面都相切），则正三棱台的高为
A.3 B.4 C.5 D.6
7.已知数列 满足 ，则下列说法正确的是
A. 所有项恒大于等于
B.若 ，则 是单调递增数列
C.若 是常数列，则
D.若 ，则 是单调递增数列
8.在平面直角坐标系 中， ， ， ，其中 ， ，
，则当 面积最小时，
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对得 6分，部分选对得部分分，选错得 0分.
9.设样本空间 含有等可能的样本点，且 ， ， ，则下列结论正
确的是
A. B.
C. D.
10.斜率为 2的直线 与双曲线 的两条渐近线交于 ， 两点，
与双曲线交于 ， 两点， 是线段 的中点，则下列说法正确的是
A. 是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程
B. 也是线段 的中点
C.若 过双曲线的焦点，则直线 的斜率是
D.若 过双曲线的焦点，点 的坐标为（2，1），则
11.已知 的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
① ；
② ；
③当 时， ，
其中
下列说法正确的是
A.若 ， ，则
B. 恰有两个整数解
C.若 ， ，则 ， ， 中至少有两个相等
D.若 ，则
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.已知 ，则 __________.
13.用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不
相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它
们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有__________种.
14.在平面直角坐标系 中，射线 ， ，半圆 .现从
点 向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线 ， 时会发生镜面反射.设
光线在发生反射前所在直线的斜率为 ，若光线始终与半圆 没有交点，则 的取值范围是__________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13 分 ） 在 中 ， 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， ，
，.
（1）求 的外接圆半径；
（2）若 为锐角三角形，求 周长的取值范围.
16.（15 分）如图，正方体 的棱长为 1，点 ， 分别在线段 ， 上，且
，.
（1）若 ，证明： ；
（2）若 ，点 ， 分别在直线 ， 上，且 ， ，求 的取值范
围.
17.（15 分）箱子里有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被
抽到的概率均为 ，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结
束：
（a）第一次抽取的卡片上写的数字是4；
（b）设 为大于等于 2的整数，第 次抽取的卡片上写的数字大于第 次抽取的卡片上写的数字.例
如，当记录的数字依次为3，2，2，4时，这个操作在第 4次结束.
（1）若操作进行了4次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；
（2）求操作在第 次结束的概率.
18.（17 分）已知函数 ， .
（1）设直线 与曲线 交于点 ，求 点纵坐标的最小值；
（2）a取遍全体正实数时，曲线 在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数 ，
求 的解析式；
（3）证明：当 时，对任意正实数 ， .（附： ）
19.（17 分）在直角坐标系 中，椭圆 经过点 ，短半轴长为
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