2025年高考数学考前秘卷 04（新高考Ⅰ卷）参考答案

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2025 年高考考前信息必刷卷（新高考Ⅰ卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B D D D D C A B
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9 10 11
ACD ABC ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．1 13．2 14．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
【详解】（1）取 AD 的中点 O，连接 QO，QC，因为 ，所以 ，...........................2分
又 ， ，所以 ，在正方形 ABCD 中， ，
所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，...................................................................................................4分
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以四棱锥 的体积为 ；...................................................6分
（2）过 O作 交 BC 于M，则 ，
结合（1）中 平面 ，故可建以 O为原点，OM，OD，OQ 所在直线为 x，y，z轴的空间直角坐
标系，如图所示，
所以 ， ， ， ，
故，，..................................................................................................8分
设平面 BQD 的法向量为 ，则 ，
故 ，取 ，则 ， ，
故平面 的一个法向量为 ，.............................................................................10 分
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，
所以 ，..................................................................................................12 分
由图可知 为锐角，所以 ，
所以 ，
所以二面角 的平面角的正弦值为 .....................................................................................13 分
16．（15 分）
【详解】（1） ， ， ，
所以原式可化为 ，.....................................................................................2分
由正弦定理得： ，由余弦定理得： ，
.....................................................................................6分
（2）设 中点为 ，则 ，
且 三点共线，
同理可得点 为 三条中线的交点，点 为 的重心，........................................................8分
为 中点， ，
，平方得： ，..................................................10 分
①，
又由余弦定理得： ，即 ②..........................................................12 分
由①②得： ，
.....................................................................................15 分
17．（15 分）
【详解】（1）记事件 为抽到一件合格品，事件 为抽到另一件为不合格品，
，....................................................................................2分
，....................................................................................4分
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