浙江省北斗星盟2025届高三下学期4月三模试题 数学 Word版含答案
浙江省北斗星盟 2025 届高三下学期模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
A={x∨0<
√
x<2}
，
B={ x∈Z∨¿x∨≤2}
，则
A ∩ B=¿
()
A.
{1,2 }
B.
{0,1,2}
C.
{−1,0,1,2}
D.
{−2,− 1,0,1,2}
2.若复数
z
满足
2z+z=2
1+i
，则
z=¿
()
A.
−1+1
3i
B.
1
3−i
C.
1−1
3i
D.
−1
3+i
3.已知单位向量
⃗
a
，
⃗
b
满足
¿a
⃗
+b
⃗
∨¿2∨a
⃗
− b
⃗
∨¿
，则向量
⃗
a
在向量
⃗
b
上的投影向量为()
A.
1
3b
⃗
B.
2
5b
⃗
C.
1
2b
⃗
D.
3
5b
⃗
4.“
a=2
”是“函数
f(x)=ln(x2− ax +1)
的值域为
R
”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若坐标原点
O
关于动直线
l:mx − y −m+1=0(m∈R)
的对称点为
A
，则点
A
的轨迹为()
A.圆B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
6.已知函数
f(x)=2sin (ωx+φ)(ω>0,∨φ∨¿π
2)
和函数
g(x)=2 cos(ωx +φ)
的图象上相邻的四个交点构
成的四边形的面积为
√
2
2
，且
f(1)=g(1)
，则()
A.
ω=4π
，
φ=π
4
B.
ω=4π
，
φ=π
3
C.
ω=8π
，
φ=π
4
D.
ω=8π
，
φ=π
3
7.已知函数
f(x)
满足
f(1)=2
，且对
∀x∈R
，
f(x+1)=1−1
f(x)
，则满足
∑
i=1
n
f(i)≤1015
的正整数
n
的最
大值为()
A.
2026
B.
2027
C.
2028
D.
2029
8.在平面直角坐标系
xOy
中，已知曲线
C:¿
，若点
P
为曲线
C
上的动点，则
¿OP∨¿
的最大值为()
A.
√
2
2
B.
√
2
C.
2
D.
2
√
2
二、多选题：本题共 3小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在足球训练课上，
A
，
B
两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行
5
轮，在每轮比赛中，两人各
罚点球一次，射中得
1
分，射不中得
0
分
.
已知
A
，
B
每次点球命中的概率分别为
PA
，
PB
，
(PA, PB∈(0,1))
，
若
5
轮比赛后
A
，
B
的总得分分别为
XA
，
XB
，则下列结论正确的是()
A.若
E(XA)<E(XB)
，则
PA<PB
B.
P(XA=XB=3)≠ P(XA:XB=2: 3)
C.若
0<PA<PB<1
2
，则
D(XA)< D(XB)
D.若当且仅当
k=2
时，
P(XA=k)(k=0,1,2,⋯5)
取得最大值，则
1
3<PA<1
2
10.已知椭圆
C:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为
F1
，
F2
，上顶点为
A
，且
¿A F1∨¿∨F1F2∨¿2
，
P
为
C
上位于第一象限内的点，且
¿P F1∨⋅∨P F2∨¿18
5
，
∠F1P F2
的内角平分线交
x
轴于点
M
，则下列
结论正确的是()
A.椭圆
C
的离心率
e=1
2
B.
cos ∠F1P F2=3
5
C.
△P F1F2
的内切圆半径为
√
5
5
D.
¿F1M∨¿
¿P F1∨¿=2
3¿
¿
11.如图，四棱锥
P − ABCD
中，侧面
PAD
为等腰直角三角形，底面
ABCD
为矩形，
AB⊥PD
，
PA=PD=
√
2
，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为
O1
，其外接球球心为
O2
，则下列结论正确的
是()
A.平面
PAD ⊥
平面
ABCD
B.四棱锥
P − ABCD
的内切球半径为
√
2−1
C.四棱锥
P − ABCD
的体积为
2
√
2
3
D.
O1O2
2=4−2
√
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.已知函数
f(x)=
{
ex−a , x>0,
b e− x −2, x <0
为奇函数，则
a+b=¿
．
13.已知
α
，
β∈(0,π
2)
，且满足
sin αtan β=2 cos2α
2
，则
tan(α+β)=−1
2
，则
sin 2 β=¿
．
14.人工智能
¿
Intelligence¿
，英文缩写为
AI .
是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开
发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学
.
某商场在有奖销售的抽
奖环节时，采用
AI
技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键
5
次，每次点击随机生成数字
0
或
1
或
2
，点击结束后，生成的
5
个数字之和即为奖券码
.
并规定：如果奖券码为
0
，则获一等奖
;
如果奖券码为
3
的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖
.
已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.
¿
本小题
13
分
¿
如图，在四棱锥
P − ABCD
中，底面
ABCD
为矩形，
PD ⊥
底面
ABCD
，
AD=2
，
PD=AB=4
，
M
，
N
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