山东省烟台市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 答案

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高二数学答案（第 1 页，共 4 页）
2023～2024学年度第二学期期末学业水平诊断
高二数学参考答案及评分标准
一、选择题
C C A D B D C A
二、选择题
9. ABD 10.BCD 11.AC
三、填空题
12.
80
−
13.
1
( ,]
e
−∞
14.
1
4
()
3
n
L
−
，
2
23
45 L
四、解答题
15.解 ：（ 1）根据已知条件，可得：
······················································ 3分
零假设为
0
H
：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联，
根据列联表中数据计算得到，
2
2
50 (8 28 2 12) 25
= = 8.333 7.879
20 30 10 40 3
χ
× × −× ≈>
×××
. ······························· 6分
根据小概率值
0.005
α
=
的独立性检验，推断
0
H
不成立，即认为创新作文比赛获奖与
选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于
. ····························
7分
（2）由题意可知
X
的可能取值为
1, 2, 3
,则 ···································
8分
12
82
3
10
1
( 1) 15
CC
PX C
= = =
，
21
82
3
10
7
( 2) 15
CC
PX C
= = =
，
3
8
3
10
7
( 3) 15
C
PX C
= = =
， ········································ 11 分
所以,随机变量
X
的分布列为:
所以
1 7 7 12
()1 2 3
15 15 15 5
EX =×+×+×=
. ·························· 13 分
16.解：（ 1）当
2a= −
时，
2
( ) ( 2 1)e x
fx x x= −+
，所以
2
( ) ( 1)e
x
fx x
′= −
. ········· 1分
设切点为
00
(, )xy
，则
0
2
00 0
( 2 1)e x
yx x= −+
，
0
2
0
( 1)e
x
kx= −
，
获奖 没有获奖 合计
选修阅读课程 8 12 20
不选阅读课程 2 28 30
合计 10 40 50
X
1
2
3
P
1
15
7
15
7
15
{#{QQABRYYQoggoAIBAAAhCAQXKCkOQkACACQgOBEAIMAAAARNABAA=}#}
高二数学答案（第 2 页，共 4 页）
所以，切线方程为
00
22
00 0 0
( 2 1)e ( 1)e ( )
xx
y x x x xx−−+ =− −
. ························ 3分
将
(1, 0)
代入得
2
00
( 1) 0xx−=
，解得
00x=
或
01x=
. ····························· 5分
故过
(1, )0
的切线方程为
0y=
或
10xy+ −=
. ················································ 7分
（2）
2
( ) (2 )e ( 1)e ( 1)( 1)e
xx x
fx xa x ax xa x
′= + + + + = ++ +
. ····················· 8分
当
0a=
时，
2
( ) ( 1) e
x
fx x
′= +
，恒有
() 0fx
′≥
，函数
()fx
单调递增. ········· 10 分
当
0a>
时，
11a−−<−
，当
( , 1)xa∈ −∞ − −
，或
( 1, )
x∈ − +∞
时，
() 0fx
′>
，函
数
()fx
单调递增，当
( 1, 1)xa∈− − −
时，
() 0fx
′<
，函数
()fx
单调递减. ···· 12 分
当
0
a<
时，
11a− − >−
，当
( , 1)x∈ −∞ −
，或
( 1, )xa∈ − − +∞
时，
() 0fx
′>
，函数
()fx
单调递增，当
( 1, 1)
xa
∈− − −
时，
() 0fx
′<
，函数
()fx
单调递减. ······· 14 分
综上，当
0a=
时，
()fx
在
R
上单调递增，当
0a>
时，
()
fx
在
( , 1)a−∞ − −
，
( 1, )− +∞
上单调递增，在
( 1, 1)a−− −
上单调递减，当
0a<
时，
()fx
在
( , 1)
−∞ −
，
( 1, )
a− − +∞
上单调递增，在
( 1, 1)a−−−
上单调递减. ······························ 15 分
17.解 ：（ 1）由题意可知，
21 2
bba−=
，即
2
11b−=−
，故
20b=
. ························ 1分
由
32 3
bb a−=
，可得
. ······················································ 2分
所以数列
{}
n
a
的公差
2d=
，所以
1 2( 2) 2 5
n
a nn=−+ − = −
. ······················ 3分
由
1nn n
bb a
−
−=
，
12 1nn n
bb a
−− −
−=
，
，
21 2
bba−=
，
叠加可得
1 23
( 1)( 1 2 5)
2
nn
nn
bbaa a − −+ −
−= +++ =
，
整理可得
2
4 4( 2)
n
bn n n
=−+ ≥
；当
1n=
时，满足上式，
所以
244
n
bn n
=−+
················································································ 5分
（2）不妨设
(, )
mn
a b mn
∗
= ∈ N
，即
2
2 5 ( 2)mn−= −
，可得
2
( 2) 5
2
n
m−+
=
， ········ 6分
当
2nk=
时，
2
9
24
2
mk k= −+
，不合题意，
当
21nk
= −
时，
2
2 6 7 2 ( 3) 7m k k kk ∗
= − += − +∈N
， ································ 7分
所以
21k
b
−
在数列
{}
n
a
中均存在公共项，
又因为
1357
bbbb=<<<
，所以
n
c=
2
21 (2 1)
n
bn
+= −
. ································· 9分
（3）当
1n=
时，
1
5
14
T= <
，结论成立， ············································ 10 分
当
2n≥
时，
2
1 1 1 11 1
()
(2 1) (2 2) 2 4 1
n
c n n nnn
=<=−
− −× −
， ····················· 12 分
{#{QQABRYYQoggoAIBAAAhCAQXKCkOQkACACQgOBEAIMAAAARNABAA=}#}
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