陕西省咸阳市高新中学2021届高三上学期第三次质量检测理科数学试题 含答案

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咸阳市高新中学 2021 届 2020--2021 学年第一学期第三次质量检测
（理科数学）
时间:120 分钟，满分:150 分 2020 年 11 月 4 日 14:30--16:30
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题中只有一项符合题目要求)
1． 设集合 A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合 B={2，3}，则 A∪B 等于（　　）
A．{2} B．{1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}
2． 若向量 =（1，1）， =（2，5）， =（3，x）满足条件（8 ﹣ ）• =30，则 x=（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
3． 设 Sn是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2=3，a6=11，则 S7等于（　　）
A．13 B．35 C．49 D．63
4. 若向量 相互垂直，则
9 3
x y
的最小值为 （ ）
A．6 B．2
3
C．3
2
D．12
5． 设 F1，F2分别是椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF1的中点
在 y 轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆 C 的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6． 已知曲线 ，则下列说法正确的是（　　）
A．把 C1上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2
B．把 C1上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2
C．把 C1向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线 C2
D．把 C1向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线 C2
7． 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一
丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上
每个小正方形的边长为 1 丈），那么该刍甍的体积为（　　）
A．4 立方丈B．5 立方丈C．6 立方丈D．12 立方丈
8． 曲线 f（x）=x3﹣ （x＞0）上一动点 P（x0，f（x0））处的切线斜率的最小值为（　　）
A． B．3 C．2 D．6
9． 已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则
球 O 的直径为（　　）
A．13 B． C． D．
10． 设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 的取值范围[m，n]恰好是函数
y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，则 ω 的值为（　　）
A． B． C． D．
11． 已知 F1，F2是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点 F2与双曲线的一条渐近线平
行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值
范围是（　　）
A．（2，+∞） B．（ ，2） C．（ ， ） D．（1， ）
12． 对于函数 f（x）和 g（x），设 α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在
α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与 g（x）互为“零点关联函数”．若函数 f（x）=ex﹣1+x﹣2
与 g（x）=x2﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”，则实数 a 的取值范围为（　　）
A． B． C．[2，3] D．[2，4]
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 曲线 与 轴围成的平面图形面积为______________.
14． 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是
乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌
手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是　 　．
15． 设 l，m 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是　 　．
①若l⊥m，m⊥α，则 l⊥α 或 l∥α
②若l⊥γ，α⊥γ，则 l∥α或 lα⊂
③若l∥α，m∥α，则 l∥m或 l与 m 相交
④若l∥α，α⊥β，则 l⊥β 或 lβ⊂
16． 在平面直角坐标系xOy 中，已知 P 是函数 f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点 P 处
的切线 l交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t的最
大值是　 　．
　
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10 分）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ，
（I）求角A 的大小；
（II）若 a=2，求的面积 S 的最大值．
18．设数列{
an
}的前
n
项和为
Sn
.已知 2
Sn
＝3
n
＋3.
(1)求{
an
}的通项公式； (2)若数列{
bn
}满足
anbn
＝log3
an
，求{
bn
}的前
n
项和
Tn
.
19 ． （ 12 分 ） 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中， 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ，∠ ABD=90° ， EB⊥ 平 面
ABCD，EF∥AB，AB=2，EB= ，且M 是 BD 的中点．
（1）求证：EM∥平面 ADF；
（2）求二面角A﹣FD﹣B 的余弦值的大小．
20．（12 分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与 x 轴交于点 k，过点 k 做圆 C：（x﹣5）2+y2=9
的两条切线，切点为 ．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若直线 AB 是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于 A，B 两点，过定点Q 作 AB 的
垂线与抛物线交于 G，D 两点，求四边形 AGBD 面积的最小值．
21．（14 分）已知函数 ，记F（x）=f（x）﹣g（x）．
（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；
（2）用min{a，b}表示 a，b 中的最小值，设函数 m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c
在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根 x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为 x0．
求证： ．
　
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参
数方程]
22.(本小题满分 10 分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，
l
的参数方程为
2
3 ,
2
2
52
x t
y t
 
 
（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系
xoy 取 相 同的 长 度单位，且以 原 点 O 为 极点 ， 以 x 轴 正 半轴 为 极轴 ） 中 ， 曲 线 C 的 方 程为
2 5 sin
 
.
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线 C 与
l
交于点 A、B，若点 P 的坐标为
，求|PA|
+|PB|.
23. (本小题满分 10 分) 选修4—5：不等式选讲
已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c 的最小值为 4.
(1)求 a＋b＋c 的值；(2)求 a2＋b2＋c2的最小值．
咸阳市高新中学 2021 届 2020--2021 学年第一学期第三次质量检测
（理科数学）参考答案与试题解析　
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1． 设集合 A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合 B={2，3}，则 A∪B 等于（　　）
A．{2} B．{1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}
[解析]解：∵A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合 B={2，3}，
∴A∪B={0，1，2，3}，故选：D．
2． 若向量 =（1，1）， =（2，5）， =（3，x）满足条件（8 ﹣ ）• =30，则 x=（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
[解析]解：∵向量 =（1，1）， =（2，5），
∴
∴
∴x=4．故选 C．　
3． 设 Sn是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2=3，a6=11，则 S7等于（　　）
A．13 B．35 C．49 D．63
[解析]解：因为 a1+a7=a2+a6=3+11=14，
所以 故选 C．
4.若向量
( 1, 2), (4, )a x b y 
 
相互垂直，则
9 3
x y
的最小值为
A．6 B．2
3
C．3
2
D．12
解析、【答案】A 【解析】因为
a b
 
，所以
0a b
 
，即
4( 1) 2 0x y 
，所以
2 2x y 
。则
2 2 2 2
9 3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 6
x y x y x y x y
   
，当且仅当
2
3 3 ,2 1
x y x y  
取等号，所以最小值为
6，选 A.
5． 设 F1，F2分别是椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF1的中点
在 y 轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆 C 的离心率为（　　）
A． B． C． D．
[解析]解：∵线段 PF1的中点在 y 轴上
设 P 的横坐标为 x，F1（﹣c，0），∴﹣c+x=0，∴x=c；
∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x 轴，
∵∠PF1F2=30°，∴PF2= ，
∵PF1+PF2=2a，∴PF2= ，
tan∠PF1F2= = = ，
∴= ，∴e= = ．故选：A．
　6． 已知曲线 ，则下列说法正确的是（　　）
A．把 C1上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2
B．把 C1上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2
C．把 C1向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线 C2
D．把 C1向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线 C2
[解析]解：根据曲线 =sin（ x﹣ ），
把 C1上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，可得 y=sin（ x）的图象；
再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2：y=sin（ x﹣ ） 的图象，
故选：B．
　7． 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高
一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸
上每个小正方形的边长为 1 丈），那么该刍甍的体积为（　　）
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