陕西省西安中学2021届高三12月月考数学（理）试题 含答案

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西安中学高 2021 届高三 12 月月考
理科数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1. 若集合
A={( x , y)∨x+y=1}
，
B={x∨x−y=1}
，则
A ∩ B
等于0
¿
000
¿
A.
{
(
1,0
)
}
B.
{1}
C.
D.
∅
2. 已知平面内有三点
A(−1,7)
，
B(2,3)
，
C(3,5)
，则向量
AB
⃗
在
BC
⃗
方向上的投影为
¿
00 0
¿
A.
−1
B.
1
C.
−❑
√
5
D.
❑
√
5
3. 过抛物线
y2=4x
的焦点 F的直线交抛物线于 A，B两点，若线段 AB 的中点 M到y轴的距离为
2，则
¿AB∨¿()
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
4. 中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发
生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我
国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼状图和“90 后”
从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是
()
A. 芯片、软件行
业从业者中，“90 后”占总人数的比例超过
50 ％
B. 芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90 后”人数超 过总人数
的
25 ％
C. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90 后”比“80 后”多
D. 芯片、软件行业中，“90 后”从事市场岗位的人数比“80 前”的总
人数多
5. 如图,某几何体的三视图是直角边长为 1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积
为
()
A.
3
2π
B.
❑
√
3π
C.
❑
√
3
2
D.
3π
6. 在
(x3−1)(x−1
❑
√
x)
6
的展开式中，常数项等于（ ）
A. 15 B.16 C.
−16
D.
−14
7. 已知抛物线 C：
y2=2px(p>0)
的焦点为 F，准线 l与x轴的交点为 A，M是抛物线 C上的点，
MF ⊥x
轴，若以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2，则
p=()
A. 2 B.
2❑
√
2
C. 4 D.
4❑
√
2
8. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派 5名教师对数学卷的选择题、填空题和解
答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派 1名教师的不同分派方法种数为
()
A. 150 B. 180 C. 200 D. 280
9. 设复数 z满足
¿z−i∨+¿z+i∨¿4
，z在复平面内对应的点为
(x , y )
，则
()
A.
x2
4−y2
3=1
B.
x2
4+y2
3=1
C.
y2
4−x2
3=1
D.
y2
4+x2
3=1
10. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，
…
，如此继
续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”
.
若某勾股树含有 255 个正方形，
且其最大的正方形的边长为
❑
√
2
2
，则其最小正方形的边长为
()
A.
1
16
B.
❑
√
2
32
C.
1
32
D.
1
64
11. 已知直线
l:y=k(x+4)
与圆
(x+2)2+y2=4
相交于 A、B两点，M是线段 AB 的中点，则点 M
到直线
3x−4y−6=0
的距离的最大值为
¿
0 0
¿
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
12. 设椭圆 E：
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的一个焦点为
F(1,0)
，点
A(−1,1)
为椭圆 E内一点，若椭圆 E
上存在一点 P，使得
|
PA
|
+
|
PF
|
=9
，则椭圆 E的离心率的取值范围是
¿
00
¿
A.
¿
B.
[1
3,1
2]
C.
[1
5,1
4]
D.
[1
2,2
3]
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13. 已知变量 x，y满足 ，则 的取值范围是_________．
14. 设
Sn
是公差不为零的等差数列
{
an
}
的前 n项和，且
a7=−2a1，
则
S9
S5+a4
=¿
________．
15. 已知函数
f(x)=Asin(ωx+φ)( A>0,∨φ∨¿π
2, ω>0)
的部分图象如图所示，将函数
f(x)
的图象向左平移
a(a>0)
个单位长度后，所得图象关于直线
x=3π
4
对称，
则
a
的最小值为______．
16. 已知
a
⃗
，
b
⃗
，
c
⃗
是同一平面内的三个向量，其中
a
⃗
，
b
⃗
是相互垂直的单位向量，且
(a
⃗
−c
⃗
)⋅(❑
√
3b
⃗
−c
⃗
)=1
，
¿c
⃗
∨¿
的最大值为______．
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第22，23 题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题.（共 60 分）
17. （12 分）在锐角
△ABC
中，内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
△ABC
的面积
S=b2+c2−a2
4
．
¿
1
¿
求A；
¿
2
¿
作角 B的平分线交边 AC 于点 O，记
△BOA
和
△BOC
的面积分别为
S1
，
S2
，求
S1
S2
的取值
范围．
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