陕西省西安市西工大附中2021届高三下学期5月第十二次适应性模拟检测数学文科答案
文科数学（1 / 4）
数 学（文科）参考答案
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
1—12 CABAD ACCCD BD
13.
4
1
14 .3 15 .
3
3
16.
2
16
1
−
17.（本小题 12 分）
【解析】（1）由
( )
3sin cos3AAcb= +
得：
3sin sin sin 3sin cosC BA BA= +
,(2 分)
∴
( )
3sin sin sin 3sin cosAB B A B A+= +
∴
3sin cos 3cos sin sin sin 3sin cosAB AB BA B A+=+
∴
3sin cos sin sin
AB AB=
,
∴
tan 3B=
,(5 分) ∵
( )
0,
B
π
∈
,∴
3
B
π
=
.(6 分)
（2）∵
2
ac
+=
,
3
B
π
=
, ∴
2 22
2 cosb a c ac B
=+−
22
a c ac=+−
( )
2
2
3 43 43 1
2
ac
a c ac ac +
= + − =− ≥− =
（当且仅
ac=
时取等号） (10 分)
又
2bac
<+=
, ∴
[
)
1, 2b∈
. (12 分)
18.（本小题 12 分）
【解析】（1）证明：设
2
BC a=
.
四边形
11
B BCC
是菱形，
D
为棱
BC
的中点，
12BC BB a∴= =
，
1
2
BD BC a= =
.在
1
BB D△
中，
11
60B BD B BC
∠=∠=
，由余弦定理得
2 22
1 1 11
2 cosB D BD BB BD BB B BD
= +− ⋅ ∠
，解得
13BD a=
.
2 22
11
BD B D BB∴+ =
，
1
90
BDB∴∠ =
，即
1
B D BC⊥
.(2 分)
AB BC⊥
，
1
AB BB⊥
，且
1
BC BB B=
，
AB
∴⊥
平面
1
BDB
.
1
BD⊂
平面
1
BDB
，
1
AB B D∴⊥
.(4 分)
1
AB B D⊥
，
1
B D BC⊥
，且
AB BC B∩=
，
1
BD∴⊥
平面
ABC
.
1
BD⊂
平面
1
AB D
，
∴
平面
1
AB D ⊥
平面
ABC
；(6 分)
（2）由
2AB BC= =
和（1）知
1
3BD=
，
1
BD⊥
平面
ABC
，
1
BD
∴
是点
1
B
到平面
ABC
的距离.
AD ⊂
平面
ABC
，
1
B D AD∴⊥
，则
1
AB D△
是以
1
AB
为斜边的直角三角形， (8 分)
AB BC⊥
，
2AB BC= =
，点
D
为棱
BC
的中点，
22
5AD BD AB∴= + =
，
ACD△
的面积
1
2
ACD
CD AB
S×
= =
△
，
1
AB D△
的面积
1
1
15
22
AB D
AD DB
S×
= =
△
.(10 分)
设点
C
到平面
1
AB D
的距离为
h
，则
11
C AB D B ACD
VV
−−
=
.
1
1
11
33
AB D ACD
S h S BD∴× ×=× ×
△ △
，解 得
25
5
h=
.
∴
点
C
到平面
1
AB D
的距离为
25
5
. (12 分)
文科数学（2 / 4）
19.（本小题 12 分）
【解析】（1）由题意可知，
]10090[ ，
上的频率为
(0.1 0.005 0.015 0.050 0.010) 10 0.2
−−−− ×=
，
]10090[ ，
上的频率为 0.1，所以，估计年需求量不低于 90
t
的概率为 0.3。 2分
设年需求量的平均数为
x
，则
5
.
86
1
.
0
105
2
.
0
95
5
.
085
15
.0
7505
.
065 =
×
+
×
+
×
+×
+×
=
x
， 4分
（2）设今年的年需求量为
x
吨，今年的年利润为
y
万元，
当
1000 ≤≤ x
时，
307.0)100(3.04.0 −=−×−= xxxy
，当
100>
x
时，
40=
y
， 6分
故
≤<
≤≤−
=11010040
10060307.0
x
xx
y，
，
， 7 分
设
4
.
27307.0 ≥−x
，解得
82≥x
，
4.05.0
5
4
)9080(
10
8290
)9082( =×=<≤×
−
=<≤ xPxP
， 8分
2
.0
)100
90
(=
<≤ x
P
，
1.
0
)110
100( =
≤≤ xP
， 10 分
则
)110100()10090()9082()82( ≤≤+<≤+<≤=≥ xPxPxPxP
7.01.02.04.0 =++=
， 11 分
∴今年的年利润不少于
4.27
万元的概率为
7.0
。 12 分
20.（本小题 12 分）
【解析】（1）左焦点
( ,0)c
−
,上顶点
(0, )b
关于直线
yx
= −
对称,可知
bc=
,
将
P
点的坐标代入椭圆得
22
31
1
24
ab
+=
,又
2 22
abc= +
,联立解得：
2
2a=
,
21b=
,
故椭圆
E
的标准方程为：
22
1
2
xy+=
； (4 分)
（2）①当切线
l
的斜率存在且不为
0
时,设
l
的方程为
y kx m= +
,
联立直线
l
和椭圆
E
的方程,得
221
2
y kx m
xy
= +
+=
,得
( )
22 2
2 1 4 2 20k x kmx m
+ + + −=
, (6 分)
因为直线
l
和椭圆
E
有且仅有一个交点,即方程有两个相等的根,
( )( )
22 2 2
16 4 2 1 2 2 0km k m∴∆ = − + − =
,化简并整理,得
22
21mk= +
． (7 分)
因为直线
MQ
与
l
垂直,所以直线
MQ
的方程为：
()
11yx
k
=−−
,
联立
()
11,
,
yx
k
y kx m
=−−
= +
解得
2
2
1,
1
,
1
km
xk
km
yk
−
=
+
+
=
+
2 2 22 2 2 2 2 2
22 22 22 22 2
(1 ) ( ) 1 ( 1)( 1) 1
(1 ) (1 ) (1 ) 1
kmkmkmkmkmm
xy k k kk
− ++ ++ + + + +
∴+ = = = =
+ + ++
,
把
22
21mk= +
代入上式得,点Q坐标（x,y）总满足
2
22 2
22
2
1
k
xy k
+
+= =
+
,恒为定值 ； (10 分)
②当切线
l
的斜率为
0
时,直线
:1ly
,过点
( )
1,0M
作直线
l
的垂线为：
1
x=
,即此时
()1,1Q
或
(1, 1)Q−
,
点Q坐标（x,y）也满足
22
2xy+=
；
③当切线
l
的斜率不存在时,直线
:2lx= ±
,过点
( )
1,0M
作直线
l
的垂线为：
0y=
,即此时
( 2,0)Q
或
( 2,0)−
,点Q坐标（x,y）也满足
22
2xy+=
．
综上所述,点
Q
总在定圆
22
2xy+=
上． (12 分)
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2025-01-25 109
作者：envi
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