陕西省西安市第一中学2022届高三上学期期中考试数学（文）试题含答案
西安市第一中学 2021-2022 学年度第一学期期中考试
高三数学试题（文）
命题人：白恒兴
一、选择题(共12 小题,每小题 3分,共36 分)
1. 设集合 A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则 A∪B等于( )
A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}
2. i 是虚数单位，计算
(1+i
1−i)2021+( 1−i
1+i)2021
等于( )
A．－2i B．0 C．2i D．2
3. 函数
f(x)=
√
x+1+lg(6−3x)
的定义域为（ ）
A.
(−∞,2)
B.
(−1,2 )
C.
[−1,2 ]
D.
[−1,2)
4. 同时掷两个骰子，则向上点数不相同的概率为（ ）
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
5
6
5. 设θ∈R，则“0<θ<”是“sin θ＋cos 2θ>1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6. 已知定义在 R上的函数 满足当 时，不等式 恒成立，
若
a=f(log5
1
2)
，
b=f(log2
1
2)
，
c=f(40.3)
，则 a，b，c大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 若点 G是
Δ ABC
的重心，则
⃗
GA+
⃗
GB+
⃗
GC =
( )
A.0 B.
⃗
0
C.
⃗
AC
D.
⃗
AB
8. 若x＝－2是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则 f(x)的极小值为( )
A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1
9. 已知＝5，则 cos2α＋sin 2α＝( )
A. B.－ C.－3 D.3
10. 函数 f(x)＝cos x－sin x在[0，
π
]上的单调递减区间是( )
A.
[π
2,3π
4]
B.
[0,π
2]
C.
[0,3π
4]
D.
[3π
4，π]
11.
f(x)= 1
2x+cos x
在
(0, π )
上的极小值为（ ）
A.
5
12 π−1
2
B.
1
12 π−
√
3
2
C.
1
12 π−1
2
D.
5
12 π−
√
3
2
12.已知函数 lnx + 1,若存在 ,对任意 ，
都有 ，则实数
a
的取值范围是( )
二、填空题(共4小题,每小题 4分,共16 分)
13. 在平行四边形 ABCD 中，若
|
⃗
AB+
⃗
AD|=|
⃗
AB−
⃗
AD|
，则四边形 ABCD 的形状为__________.
14. 已知曲线
y=x3+4
，则曲线在点
P(2,12 )
处的切线方程为__________________.
15. 在 中， 分别是角 的对边，已知 ， ， 的面积
为 ，则 的值为_______________.
16. 函数 y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图像向右平移个单位长度后，与函数 y＝sin
(2x−π
3)
的图像重
合，则 φ＝________.
三、解答题(共4小题,每小题 12 分,共48 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. （12 分）
Δ ABC
的内角 A，B，C的对边分别为
a , b , c
，且
sin C=sin B+sin(A−B).
（1）求角 A的大小；
（2）若
a=
√
7
，
Δ ABC
的面积
S=3
√
3
2
，求
Δ ABC
的周长.
18. （12 分）已知函数
f(x)=4 sin xcos (x−π
3)−
√
3 .
(1)求
f(x)
的最小正周期；
(2)求
f(x)
的单调递增区间．
19.（12 分）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．
某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知
晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌
配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加 年 月份的车牌竞拍，他为
了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近 个月参与竞拍的人数(见下表)∶
月份
月份编号
竞拍人数 （万人）
由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数 （万人）与月份编号 之间的
相关关系．请用最小二乘法求 关于 的线性回归方程 ，并预测 年 月份参
与竞拍的人数.
参考公式及数据：
①回归方程 ，其中 ， ；
② ， ， .
20.（12 分）已知函数
f(x)=ex(ax +1)
，曲线
y=f(x)
在
x=1
处的切线方程为
y=bx −e.
（1）求
a , b
的值；
（2）若函数
g(x)=f(x)−3ex−m
有两个零点，求实数
m
的取值范围.
21.（12 分）已知函数 .
（1）若 在 上为单调函数，求实数
a
的取值范围：
（2）记
f(x)
的两个极值点为
x1, x2
，求证：
f(x1)+f(x2)<x1+x2−2.
选做题（22、23 题中任选一题）
22.（10 分）在平面直角坐标系
xOy
中，以原点
O
为极点，
x
轴的非负半轴为极轴，建立极坐标
系，曲线
C
的极坐标方程为
ρ=2cos θ
1−cos2θ
，直线
l
的参数方程为
{
x=2+tcosα ,
y=1+tsin α
(
t
为参数
0≤
α
<π).
(1)若
α
＝，求
l
的普通方程，直接写出
C
的直角坐标方程；
(2)若
l
与
C
有两个不同的交点
A
，
B
，且
P
(2，1)为
AB
的中点，求|
AB
|.
23.（10 分）已知函数
f
(
x
)＝|2
x
|－|
x
＋3|.
(1)若对于任意的实数
x
，都有
f
(
x
)≥2
m
2－7
m
成立，求
m
的取值范围；
(2)若
g
(
x
)＝
ax
，方程
f
(
x
)＝
g
(
x
)有两个不同的实数根，求
a
的取值范围.
西安市第一中学 2021-2022 学年度第一学期期中考试
高三数学答案（文）
一、选择题(共12 小题,每小题 3分,共36 分)
1. 答案 C 2.答案 B 3. 答案 D 4.答案 D 5.答案 A 6.答案 D
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作者：envi
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