上海市市北中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷详解解析

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上海市市北中学 2021-2022 学年高二上期末数学试卷
一、填空题（本大题满分 30 分，本大题共有 10 题）
1.直线 的倾斜角为　　．
【解析】直线 的斜率 ，则倾斜角为 .
2.设直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 则直线 与平
面 的位置关系为　　．
【解析】因为 ，所以 ．
所以直线 与平面 的位置关系是直线 在平面 内或平行于平面 ．
3.正方体 ,棱长为 ，则棱 所在直线与直线 间的距离为　　．
【解析】取 中点 ，则 是异面直线 和 的公垂线， .
4.正方体 中， 为 中点，则 所成的角为　　．
【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 中棱长为 2，
则 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ，所以 所成的角为 ．
5. 在 三 棱 锥 中 和 都 是 边 长 为 的 正 三 角 形 ， 二 面 角
的大小为 ，当 _____时，该三棱锥的全面积最大.
【解析】取 中点 ，连接 ，则 和 都是正三角形，
是二面角 的平面角， ，
又 ，且当 时， 和 面积最大，
此时 ，在 中，由余弦定理得
当 时，该三棱锥的全面积最大.
6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是
，则该四面体的体积为　　．
【解析】满足条件的四面体为正方体的内接正四面体 ．
所以该四面体的体积 ．
7.某校从高二年级期中考试的学生中抽取 60 名学生，其成绩（均为整数）
的频率分布直方图如图所示，现从成绩 70 分以上的学生中任选两人，则他
们的分数在同一分数段的概率为　　．
【解析】由频率分布直方图得，分数在 上的有 ，
分数在 上的有 ，
分数在 上的有 ，
分数在 上的有 人，
则他们的分数在同一分数段的概率 ．
A
B
C
D
A
1
1
C
1
D
1
8.如图，在棱长为 2的正方体 中，点 是平面 上一动点，且满足
，则满足条件的所有点 所围成的平面区域的面积是　　．
【解析】法一：如图，以 的交点 为原点， 为 轴， 轴，
垂直平面 于 的直线为 轴建立坐标系，
此时 ，设 ，
，
，
所以 点运动轨迹为圆，所以 .
法二：在平面中，满足 的轨迹为一个圆，在空间中自然是一个球；
又规定点 是平面 上一动点，
所以 的轨迹为平面 与该球的截面即小圆，
设球心为 ，球的半径为 ，
在平面 中，小圆的圆心为 ，半径为 ，
则 ，得 ，则 ，
所以 .
法三： , 在空间中，其轨迹是以 为直径的一个球 ，
而在平面 上的截面为圆，我们可以抽象出这个球如下右图所示，
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