上海市实验学校2021-2022学年高三3月月考数学试题

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上海市实验学校 2021-2022 学年高三下 3月月考数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分）
1. 若集合 ， ，则 __________.
2. 函数 （ 且 ）的值域为__________.
3. 若 、 满足约束条件 ，则 的最小值为________
4. 的展开式中，含 项的系数为______.
5. 有五张写有 1、2、3、4、5的卡片，每次抽取 1张记好数字后放回，这样抽 4次，则抽到的最大数与最
小数的差小于 4的概率是________
6. 已知 是双曲线
的
左焦点， ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小
值为________．
7. 在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对
的
边，若 ， ，若满足条件的三角
形仅有一个，则实数 的取值集合是__________.
8. 设函数 ，其中 .若函数 在 上恰有 2个零点，则 的取值范围是
________．
9. 欧拉公式 ，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，
被誉为“数学中的天桥”，已知数列 的通项公式为 ，则数列
前2022 项的乘积为__.
10. 若对于任意 ，都存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是_________
_.
11. 已知函数 ，其定义域为 ，若函数 在其定义域上有反函数，则
实数 的取值范围是__________.
12. 用 表示函数 在闭区间 I上的最大值．若正数 a满足 ，则 a的最大值为___
_____．
二、选择题（本大题共有 4小题，满分 20 分，每题 5分）
13. 已知函数 的图象是由函数 的图象经过如下变换得到：先将 的图象向右平移
个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 的图象的一条对
称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
14. 已知数列 ，以下两个命题：①若 都是递增数列，则
都是递增数列；②若 都是等差数列，则 都是
等差数列，下列判断正确的是（ ）
A. ①② 都
是
真命题 B. ①② 都是假命题
C. ①
是
真命题， ②是假命题 D. ① 是假命题， ②是真命题
15. 运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一
个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的
圆柱，与半球（如图 1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底
面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图 2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得
的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆 绕 轴旋转一周后得一
橄榄状的几何体（如图 3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）
A. B. C. D.
16. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放
在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在 轴右侧部分的边界为一个
半圆，已知直线 ： .给出以下命题：
①当时，若直线 截黑色阴影区域所得两部分面积记为 ， （ ），则 ；
②当时，直线 与黑色阴影区域有 1个公共点；
③ 当 时，直线 与黑色阴影区域有 2个公共点.
其中所有正确命题
的
序号是（ ）
A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③
三、解答题（本大题共 5题，满分 76 分）
17. 如图所示，在长方体 中， ， 为棱上一点．
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