上海市七宝中学2023届高三下学期开学考试数学试题

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2023 届七宝中学高三（下）开学考数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4分，第 7~12 题每题 5分）
1. 已知集合 ，集合 ，且 ，则实数 的值是_
_____.
2. 不等式 的解集为______.
3. 已知多项式 ，则 ___________.
4. 已知 是互相垂直的单位向量，向量 满足： 是向量 与 夹角的正切
值，则 ___________.
5. 受新冠肺炎的影响，部分企业转型生产口罩，如表为某小型工厂 2~5 月份生产的口罩数（单位：万）
2 3 4 5
2
.
2 3.8 5
.
5
若 与 线性相关，且回归直线方程为 ，则表格中实数 的值为______.
6. 已知函数 在 处取得极值 0，则 ______．
7. 已知函数 ，当 时， ，则 的最大值是________．
8. 袋中有 4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀
的
骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全
是白球，则掷出 2点的概率为______.
9. 重庆八中某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 .若 ，则从参加这次
考试的学生中任意选取 3名学生，至少有 2名学生的成绩高于 120 的概率是__________.
10. 设直线 与抛物线 相交于 两点，与圆 相切于点 ，且 为线段
的中点. 若这样的直线 恰有 4 条，则 的取值范围是__________.
11. 在正三棱柱 中， ，底面 的边长为 2，用一个平面 截此三棱柱，截面
与侧棱 ， ， 分别交于点 ， ， ，且 为直角三角形，则 的面积的取值范
围是___________.
12. 对 于 正 整 数 ， 将 其 各 位 数 字 之 和 记 为 ， 如 ， ， 则
______.
二、选择题（满分 18 分，第 13~14 题每题 4分，第 15~16 题每题 5分）
13. 将函数 图象向右平移 个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的 2
倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则下列说法中正确的是（ ）
A.
的
周期为 B. 是偶函数
C. 的图象关于直线 对称 D. 在 上单调递增
14. 若 ，则（ ）
A. B. C. D.
15. 已知 是边长为 2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是 　　
A. B. C. D.
16. 已知非空集合 A，B满足： ， ，函数 ，对于下列两个命
题：①存在唯一的非空集合对 ，使得 为偶函数；②存在无穷多非空集合对 ，使得方程
无解.下面判断正确的是（ ）
A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确
C. ①②都正确､D. ①②都错误､
三、解答题（本大题共 5题，满分 78 分）
17. 在平面四边形 ABCD 中，∠ABD=45°，AB=6，AD=，对角线 AC 与BD 交于点 E，且 AE=EC，
DE=2BE
．
（1）求 的长；
（2）求 cos∠ADC 的值．
18. 如图，在 中， ， ， ，在三角形内挖去一个半圆，圆心 在
边 上，半圆与 分别相切于点 ，与 交于另一点 ，将 绕直线 旋转一周得
到一个旋转体.
（1）求该旋转体中间空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线 旋转一周所得旋转体的体积.
19. 如图，半圆 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径的长为 百米.为了保护景点，
基地管理部门从道路 上选取一点 ，修建参观线路 ,且,均与半圆相切，四边
形 是等腰梯形，设 百米，记修建每百米参观线路的费用为 万元，经测算
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