上海市浦东新区2021-2022学年高三下学期二模数学试题 含答案

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浦东新区 2021 学年度第二学期期中教学质量检测
高三数学试卷
考生注意：1、本试卷共 21 道试题，满分 150 分，答题时间 120 分钟；
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4分，7-12 题每题 5分．考生应在答题纸相应编
号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分或 5分，否则一律得零分．
1.已知集合
A={1,3,5 }
，
B=(2,+∞)
，则
A ∩ B=¿
.
2..复数 z满足
z(2+i)=5
（i为虚数单位），则
¿z∨¿
________.
3.若函数
f(x)=loga(x+1)(a>0, a ≠ 1)
的反函数图像经过点
(1,3)
，则
4.直线
l:
{
x=1+t
y=1− t
（
t
为参数,
t∈R
）的斜率为________.
5.首项为 1，公比为
−1
2
的无穷等比数列
{an}
的各项和为______.
6.
(x− 2
x)
6
的二项展开式中的常数项为_______.
7.已知 x、y满足
{
x+y −2≥0
x+2y −3≤0
y ≥ 0
，则
z=y − 4x
的最小值为 .
8.甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为 0.8 和 0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为_
_______.
9.如果一个
圆锥的底面积和侧面积分别为
9π
和
15 π
，则该圆锥母线与底面所成角的大小为 . （用反三角
函数值表示）
10.已知双曲线
x2
4−y2
b2=1(b>0)
的右焦点为
F
，若双曲线上存在关于原点
O
对称的两点
P、Q
使
⃗
FP ⋅
⃗
FQ=4
，
则
b
的取值范围为_________．
11.若各项均为正数的有穷数列
{
yn
}
满足
yi+1≥ yi+1
，（
n ≥ 3
，
1≤i ≤n −1
，
i∈N∗, n ∈N∗
），
y1+y2+y3+⋯+yn=¿
2022，则满足不等式
yn+n ≥ M
的正整数
M
的最大值为________.
12.若函数
f(x)=x(❑
√
a2− x2+❑
√
1− x2)
的最大值为 2，则由满足条件的实数
a
的值组成的集合是__________．
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号
上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．
13.“
log2a>log2b
”是“
a>b
”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续 5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：
甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（ ）
A.甲平均产量高，甲产量稳定 B.甲平均产量高，乙产量稳定
C.乙平均产量高，甲产量稳定 D.乙平均产量高，乙产量稳定
15.将函数
f(x)=sin 2 x
的图像向左平移
π
4
个单位后，得到函数
g(x)
的图像，设 为以上两个函数图像不共
线的三个交点，则
ΔABC
的面积不可能为（ ）
A.
2❑
√
2π
B.
❑
√
2π
C.
❑
√
2
2π
D.
❑
√
2
4π
16.已知
f(x)=¿x∨¿
，
g(x)=x2− ax
，
(a∈R)
，实数
x1、x2
满足
x1<x2
，
设
p=f
(
x1
)
− f
(
x2
)
x1− x2
，
q=g
(
x1
)
− g
(
x2
)
x1− x2
，现有如下两个结论：
① 对于任意的实数
a
，存在实数
x1、x2
，使得
p=q
；
② 存在实数
a>0
，对于任意的
x1、x2∈¿
，都有
p>q
；则（ ）
A.①② 均正确 B.①② 均不正确
C.① 正确，②不正确 D.① 不正确，②正确
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要
的步骤．
17．（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分.
如图，直三棱柱
ABC − A1B1C1
中，
∠ACB=9 0∘
，
CA=CB=C C1=2
，点
D
是线段
A1B1
的中点.
（1）求三棱柱
ABC − A 1B1C1
的体积；
（2）已知
P
为侧棱
B B1
的中点，求点
P
到平面
BCD
的距离.
解：
18．（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8
分.
已知函数
f
(
x
)
=tsin x− cos x(t∈R)
（1）若函数
f
(
x
)
为偶函数，求实数
t
的值；
（2）当
t=❑
√
3
时，在
ΔABC
中（角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
），若
f
(
2A
)
=2
,
c=3
，且
ΔABC
的面积
为
2❑
√
3
，求
a
的值.
解：
19．（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分.
某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用 1粒药后，每毫升血液含药
量 （微克）随着时间 （小时）变化的函数关系式近似为 ．当每毫升血液含药量不低
于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
（1）若小白鼠服用 1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
（2）某次实验：先给小白鼠服用 1粒药，6小时后再服用 1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间
为多少小时？
解：
20．（本题满分 16 分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 6分.
已知
F1、F2
分别为椭圆
E
：
x2
4+y2
3=1
的左、右焦点， 过
F1
的直线
l
交椭圆
E
于
A
、
B
两点.
A
B
C
P
B1
A1
C1D
（1）当直线
l
垂直于
x
轴时，求弦长
¿AB∨¿
；
（2）当
⃗
OA ∙
⃗
OB=−2
时，求直线
l
的方程；
（3）记椭圆的右顶点为 T，直线 AT、BT 分别交直线
x=6
于C、D两点，求证：以 CD 为直径的圆恒过定点，并
求出定点坐标.
解:
21．（本题满分 18 分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分.
已知数列
{
xn
}
. 若存在
B∈R
，使得
{
|
xn− B
|
}
为递减数列，则
{
xn
}
称为“
B
型数列”.
(1) 是否存在
B∈R
使得有穷数列
1,❑
√
3,2
为
B
型数列？若是，写出
B
的一个值；否则，说明理由；
(2) 已知 2022 项的数列
{
un
}
中，
un=
(
−1
)
n⋅
(
2022− n
)
（
n∈N∗,1≤ n ≤2022
）. 求使得
{
un
}
为
B
型数列的实数
B
的取值范围；
(3) 已知存在唯一的
B∈R
，使得无穷数列
{
an
}
是
B
型数列. 证明：存在递增的无穷正整数列
n1<n2<…<nk<…
，
使得
{
an2k −1
}
为递增数列，
{
an2k
}
为递减数列.
解：
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