上海市南洋模范中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题

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上海市南洋模范中学 2021-2022 学年高二下期中
数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分）
1. 抛物线
的
焦点坐标是______.
2. 直线
的
倾斜角的取值范围是_______.
3. 圆 的过点 的切线方程为_____________.
4. 若双曲线 (，)的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率 ______．
5. 已知点 ，则点 M关于直线 的对称点 的坐标是__．
6. 已知直线 ， ， ，若它们不能围成三角形，则 的取值所
构成的集合为______
7. 方程 表示的曲线可能为__ （填序号）
① 两条直线；②圆；③椭圆；④双曲线
8. 已知 是椭圆 上的一点， 、 是椭圆的两个焦点，且 ，则 的面积
是______.
9. 带有编号 1、2、3、4、5的五个球，放进不同的 4个盒子里，每盒至少一个，则共有__种不同放法．
10. 若 、 是抛物线 上的不同两点，弦 （不平行于 轴）的垂直平分线与 轴相交于点
，则弦 中点的横坐标为___________.
11. 3 个男生和 3个女生排成一排，要求男生互不相邻，女生不全相邻，则不同的排列方法有___________
种.
12. 若实数 ， 满足 ，且 的最大值为 ，则实数 的值是______.
二、选择题（本大题共有 4小题，满分 20 分，每题 5分）
13. 圆上有 5个点，过每 3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（ ）
A. 10 B. 15 C. 30 D. 60
14. 命题 p：直角坐标系中动点 到定点 的距离比到 y轴的距离大 1；命题 q：动点
的坐标满足方程 ，则 p是q的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15. 已知 ，设直线 ，其中 ，给出下列结论：
① 直线 的方向向量与向量 共线；
② 若 ，则直线 与直线 的夹角为 ；
③ 直线 与直线 一定平行；
上述结论是真命题的个数是（ ）
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
16. 一个平面 斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆 .若圆柱底面圆半径为 ，平面
与圆柱底面所成的锐二面角大小为 ，则下列对椭圆 的描述中，错误的是（ ）
A. 短轴为 ，且与 大小无关 B. 离心率为 ，且与 大小无关
C. 焦距为 D. 面积为
三、解答题（本大题共 5题，满分 76 分）
17. 已知直线 和
的
交点为 ，求：
（1）以点 为圆心，且与直线 相交所得弦长为 12 的圆的方程；
（2）直线 过点 ，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为 ，求直线 的方程．
18. 我们称 （ ）元有序实数组 为 维向量， 为该向量的范数，
已知 维向量 ，其中 ， ，记范数为奇数的 维向量 的个数为
，这 个向量的范数之和为 .
（1）求 和
的
值；
（2）当 为正偶数时，求 的通项公式．
19. 如图， ， 是某景区的两条道路（宽度忽略不计， 为东西方向），Q为景区内一景点，A为
道路 上一游客休息区，已知 ， （百米），Q到直线 ， 的距离分别为
3（百米）， （百米），现新修一条自 A经过 Q的有轨观光直路并延伸至道路 于点 B，并在 B处
修建一游客休息区.
（1）求有轨观光直路
的
长；
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